Μετάβαση στο περιεχόμενο

Στερεό του Αρχιμήδη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο, ένα από τα στερεά του Αρχιμήδη.

Στερεό του Αρχιμήδη (ή Αρχιμήδειο στερεό) είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, οι έδρες του οποίου είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι του ίδιου τύπου, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στα Πλατωνικά στερεά.[1]

Τα κανονικά πολύγωνα, που αποτελούν τις έδρες, έχουν όλα ίσες τις πλευρές τους, δηλαδή οι ακμές του πολυέδρου είναι όλες ίσες. Οι έδρες ενώνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε κάθε κορυφή του πολυέδρου, διαμορφώνοντας ίσες πολυεδρικές γωνίες. Για παράδειγμα, στο διπλανό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο η διαμόρφωση κορυφής είναι (3.4.5.4), δηλαδή οι πολυγωνικές έδρες που φτιάχνουν την κάθε κορυφή του πολυέδρου είναι: τρίγωνο-τετράγωνο-πεντάγωνο-τετράγωνο (πάντα με αυτήν ακριβώς τη σειρά).

Τα στερεά του Αρχιμήδη είναι 13 και έχουν ως έδρες δύο ή τρία διαφορετικά κανονικά πολύγωνα. Όλα μπορούν να προκύψουν από τα Πλατωνικά στερεά μέσω κατάλληλων μετασχηματισμών, όπως αποκοπή των κορυφών ή των ακμών κ.ά.[1]

Ονομάστηκαν έτσι, επειδή τα ανακάλυψε ο Αρχιμήδης, ο οποίος τα διαπραγματευόταν στο έργο του «Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων», που δεν έχει διασωθεί.[1]

Πολύεδρο
(Διαμόρφωση κορυφής)
Εικόνα Ανάπτυγμα Έδρες Ακμές Κορυφές Ομάδα συμμετρίας
Κόλουρο τετράεδρο
(3.6.6)
Κόλουρο τετράεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
8 4 τρίγωνα
4 εξάγωνα
18 12 Td
Κυβοκτάεδρο
(3.4.3.4)
Κυβοκτάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
 14  8 τρίγωνα
6 τετράγωνα
24 12 Oh
Κόλουρος κύβος
ή κόλουρο εξάεδρο
(3.8.8)
Κόλουρο εξάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
14 8 τρίγωνα
6 οκτάγωνα
36 24 Oh
Κόλουρο οκτάεδρο
(4.6.6)
Κόλουρο οκτάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)

14 6 τετράγωνα
8 εξάγωνα
36 24 Oh
Ρομβοκυβοκτάεδρο
ή μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο
(3.4.4.4 )
Ρομβοκυβοκτάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
26 8 τρίγωνα
18 τετράγωνα
48 24 Oh
Κόλουρο κυβοκτάεδρο
ή μεγάλο ρομβοκυβοκτάεδρο
(4.6.8)
Κόλουρο κυβοκτάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
26 12 τετράγωνα
8 εξάγωνα
6 οκτάγωνα
72 48 Oh
Πεπλατυσμένος κύβος
ή πεπλατυσμένο εξάεδρο
ή πεπλατυσμένο κυβοκτάεδρο
(2 εναντιόμορφα)
(3.3.3.3.4)
Πεπλατυσμένος κύβος (αριστερόστροφο)
(κινούμενο μοντέλο)
Πεπλατυσμένος κύβος (δεξιόστροφο)
(κινούμενο μοντέλο)
38 32 τρίγωνα
6 τετράγωνα
60 24 O
Εικοσιδωδεκάεδρο
(3.5.3.5)
Εικοσιδωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
32 20 τρίγωνα
12 πεντάγωνα
60 30 Ih
Κόλουρο δωδεκάεδρο
(3.10.10)
Κόλουρο δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
32 20 τρίγωνα
12 δεκάγωνα
90 60 Ih
Κόλουρο εικοσάεδρο
(5.6.6 )
Κόλουρο εικοσάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
32 12 πεντάγωνα
20 εξάγωνα
90 60 Ih
Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο
ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο
(3.4.5.4)
Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
62 20 τρίγωνα
30 τετράγωνα
12 πεντάγωνα
120 60 Ih
Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο
ή μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο
(4.6.10)
Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
62 30 τετράγωνα
20 εξάγωνα
12 δεκάγωνα
180 120 Ih
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο
ή πεπλατυσμένο εικοσιδωδεκάεδρο
(2 εναντιόμορφα)
(3.3.3.3.5)
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (αριστερόστροφο)
(κινούμενο μοντέλο)
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (δεξιόστροφο)
(κινούμενο μοντέλο)
92 80 τρίγωνα
12 πεντάγωνα
150 60 I

Ο πεπλατυσμένος κύβος και το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο είναι χειρικά, δηλαδή εμφανίζονται σε δύο αντικατοπτρικές μορφές, τα εναντιόμορφα (δεξιόστροφο και αριστερόστροφο).

Για το συνολικό πλήθος των εδρών E, των κορυφών K και των ακμών A ισχύει ο τύπος του Euler:

Κάθε στερεό του Αρχιμήδη είναι εγγράψιμο σε σφαίρα, δηλαδή όλες οι κορυφές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου. Επίσης, όλες οι ακμές του πολυέδρου ισαπέχουν από το κέντρο του. Όσον αφορά τις έδρες, ισαπέχουν από το κέντρο μόνο όσες είναι του ίδιου τύπου.[1]

Τα δυϊκά (συζυγή) πολύεδρα των στερεών του Αρχιμήδη είναι τα Καταλανικά στερεά.[1]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Γκουντουβάς (2021), σελ. 219-221
  • Σωτήρης Γκουντουβάς, Γεωμετρικές Διαδρομές, Γ' έκδοση, Αθήνα 2021.
  • Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης, "Ευκλείδη Στοιχεία", τόμος 3, κεφ. 3 (Αθήνα 2001, ISBN 960-86879-2-6)
  • ΟΕΔΒ, Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' - Β' Γενικού Λυκείου, κεφ. 13 (συμπιεσμένο αρχείο)
  • Weisstein, Eric W., Archimedean Solid (Αγγλικά)