Πρίσμα (στερεομετρία)

Η πρισματική επιφάνεια που ορίζεται από ένα πολύγωνο και μία σταθερή διεύθυνση.

Το πρίσμα που οριοθετείται την πρισματική επιφάνεια και δύο παράλληλα επίπεδα.

Στην στερεομετρία, πρισματική επιφάνεια ονομάζεται η επιφάνεια που παράγεται από την ένωση όλων των ευθειών με σταθερή διεύθυνση που διέρχονται από ένα απλό πολύγωνο.

Πρίσμα ονομάζεται το πολύεδρο που οριοθετείται από δύο παράλληλα επίπεδα και μία πρισματική επιφάνεια.

Ορισμός

Για ένα πολύγωνο ${\rm {P}}$ και μία διεύθυνση ${\vec {d}}$, η πρισματική επιφάνεια που ορίζουν είναι το γεωμετρικό σχήμα με σημεία στο σύνολο

$\left\{x+\lambda {\vec {d}}:x\in {\rm {P}}{\text{ και }}\lambda \in \mathbb {R} \right\}$,

δηλαδή το σύνολο των σημείων που προκύπτουν από την μετατόπιση κάποιου σημείου του ${\rm {P}}$ προς την διεύθυνση ${\vec {d}}$.

Στοιχεία

Σε μία πρισματική επιφάνεια

• κάθε ευθεία με την δοσμένη κατεύθυνση που διέρχεται από το πολύγωνο λέγεται γενέτειρα, και
• στην ειδική περίπτωση που διέρχεται από μία εκ των κορυφών του λέγεται ακμή.

Σε ένα πρίσμα:

• οι δύο έδρες που ανήκουν στα δύο παράλληλα επίπεδα ονομάζονται βάσεις.
• η απόσταση μεταξύ των δύο βάσεων λέγεται ύψος.
• το τμήμα της πρισματικής επιφάνειας μεταξύ των δύο παράλληλων επιπέδων λέγεται παράπλευρη επιφάνεια.

Ιδιότητες

• Οι βάσεις ενός πρίσματος είναι ίσες.
• Οι παράπλευρες έδρες ενός πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα.

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός πρίσματος είναι ίσο με

${\rm {E}}_{\pi }=s\cdot \upsilon$,

όπου $s$ είναι η περίμετρος των βάσεων του πρίσματος και $\upsilon$ το ύψος του.

Απόδειξη  

Έστω $a_{1},\ldots ,a_{n}$ οι πλευρές της βάσης του πρίσματος. Τότε, τα παράπλευρα παραλληλόγραμμα έχουν κοινό ύψος και διαστάσεις $a_{1}\times \upsilon$, ..., $a_{n}\times \upsilon$.

Επομένως το συνολικό εμβαδόν τους είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{\pi }&=a_{1}\cdot \upsilon +a_{2}\cdot \upsilon +\ldots +a_{n}\cdot \upsilon \\&=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot \upsilon \\&=s\cdot \upsilon \end{aligned}}$,

όπου $s=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ είναι η περίμετρος της βάσης.

Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός πρισματος είναι

${\rm {E}}_{o}={\rm {E}}_{\pi }+2{\rm {B}}$

όπου ${\rm {B}}$ είναι το εμβαδόν των βάσεών του.

Όγκος

Ο όγκος ενός πρίσματος δίνεται από το γινόμενο του εμβαδού ${\rm {B}}$ της βάσης του με το ύψος του $\upsilon$,

${\rm {E}}={\rm {B}}\cdot \upsilon$.

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα πρίσμα λέγεται τριγωνικό, τετραγωνικό, πενταγωνικό, ... αν αντίστοιχα οι βάσεις του είναι τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγωνα, ... αντίστοιχα

Ένα πρίσμα λέγεται ορθό αν όλες οι παράπλευρες έδρες του είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμο (δηλαδή οι ακμές της πρισματικής επιφάνειας είναι κάθετες στα δύο παράλληλα επίπεδα). Διαφορετικά λέγεται πλάγιο.

Ένα πρίσμα λέγεται κανονικό αν ειναι ορθό και επιπλέον οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα .

Ορθό τετραγωνικό πρίσμα

Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα

Δείτε επίσης

• Ορθό πρίσμα
• Κανονικό πρίσμα