Δωδεκάεδρο

Δωδεκάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	30
Έδρες	12 πεντάγωνα
Σύμβολο Schläfli	{5,3}
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(5.5.5)
Συμμετρία
Συμμετρία	εικοσαεδρική (Ih)
Μετρικές σχέσεις
Εμβαδόν	$20,646\alpha ^{2}$
Όγκος	$7,663\alpha ^{3}$
Ακτίνα εγγεγρ. σφαίρας	$1,114\alpha$
Ακτίνα περιγ. σφαίρας	$1,401\alpha$
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Εικοσάεδρο
Επίπεδα σχήματα	κανονικό πεντάγωνο

Στην στερεομετρία, δωδεκάεδρο λέγεται ένα πολύεδρο που έχει δώδεκα έδρες.

Το κανονικό δωδεκάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα, τα οποία ενώνονται ανά τρία σε κάθε κορυφή του.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με το κανονικό δωδεκάεδρο στην Πρόταση 17 του 13ου βιβλίου στα Στοιχεία (XXIII.17).

Εκτός από το κανονικό δωδεκάεδρο, άλλα δωδεκάεδρα είναι το ρομβικό δωδεκάεδρο, το δεκαγωνικό πρίσμα, το πενταγωνικό αντιπρίσμα κ.ά.

Κανονικό δωδεκάεδρο

Ιδιότητες

• Έχει δώδεκα έδρες που είναι κανονικά πεντάγωνα.
• Έχει 20 κορυφές.
• Έχει 30 ακμές.
• Είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά.
• Η δίεδρη γωνία του γωνία είναι ίση με 116.56505°.
• Το δυϊκό του πολύεδρο είναι το κανονικό εικοσάεδρο, δηλαδή τα κέντρα των πενταγωνικών εδρών του δωδεκαέδρου αποτελούν κορυφές κανονικού εικοσαέδρου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των εδρών του εικοσαέδρου αποτελούν κορυφές δωδεκαέδρου.
• Είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.
• Είναι περιγράψιμο σε σφαίρα.

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κανονικού δωδεκαέδρου πλευράς $\alpha$ είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\alpha ^{2}\\&\approx 20,646\alpha ^{2}\end{aligned}}$.

Όγκος

Ο όγκος ενός κανονικού δωδεκαέδρου πλευράς $\alpha$ είναι

${\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\alpha ^{3}\\&\approx 7,663\alpha ^{3}\end{aligned}}$

Μετρικές σχέσεις

Έστω ένα κανονικό δωδεκάεδρο πλευράς $\alpha$ και $\phi$ ο χρυσός αριθμός. Τότε:

• Η ακτίνα περιγεγραμμένης του σφαίρας είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi \alpha \\&={\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha \\&\approx 1,401\alpha .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα της εγγεγραμμένης του σφαίρας είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}\alpha \\&={\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}\alpha \\&\approx 1,114\alpha .\end{aligned}}$

• Η απόσταση των ακμών από το κέντρο του είναι ίση με

${\begin{aligned}\rho &={\frac {\phi ^{2}}{2}}\alpha \\&={\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})\alpha \\&\approx 1,309\alpha .\end{aligned}}$

Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Dodecaedron (Αγγλικά)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του δωδεκάεδρο στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Δωδεκάεδρο στο Wikimedia Commons