Ρομβικό δωδεκάεδρο

Στη στερεομετρία, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των Αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι το δυϊκό του κυβοκτάεδρου. Επίσης, το πολύεδρο αυτό ανήκει στα ζωνόεδρα. Διαθέτει 12 έδρες που είναι ρόμβοι.^[1]^[2]

Ιδιότητες

Έχει 24 ακμές.
Έχει 14 κορυφές δύο τύπων.
Ως δυϊκό ενός από τα στερεά του Αρχιμήδη, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι μεταβατικό ως προς τις έδρες, δηλαδή η ομάδα συμμετρίας του στερεού δρα μεταβατικά στο σύνολο των εδρών του. Έτσι, για κάθε δύο έδρες Α και Β, υπάρχει κάποια περιστροφή ή κατοπτρισμός του στερεού που του επιτρέπει να καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο, ενώ μεταβαίνει η έδρα Α στην έδρα Β.
Το ρομβικό δωδεκάεδρο ανήκει στην ειδική κατηγορία των εννέα κυρτών πολυέδρων με μεταβατικές ακμές.^{[Σημείωση 1]}

Ο λόγος της μεγάλης διαγωνίου προς τη μικρή διαγώνιο της κάθε ρομβικής έδρας του πολυέδρου είναι ίσος με √2.

Έστω $\alpha$ το μήκος της ακμής ενός ρομβικού δωδεκαέδρου, τότε

Η ακτίνα της περιγεγραμμένης του σφαίρας, δηλαδή η απόσταση των κορυφών από το κέντρο του είναι ίση με

{\begin{aligned}R&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\alpha \\&\approx 1,155\alpha .\end{aligned}}

{\begin{aligned}\rho &={\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}\alpha \\&\approx 0,943\alpha .\end{aligned}}

Η ακτίνα της εγγεγραμμένης του σφαίρας, δηλαδή η απόσταση εδρών από το κέντρο του, είναι ίση με

{\begin{aligned}r&={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}\alpha \\&\approx 0,816\alpha .\end{aligned}}

Το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ρομβικού δωδεκαέδρου είναι ίσο με

{\begin{aligned}{\rm {E}}&=8{\sqrt {2}}\alpha ^{2}\\&\approx 11,314\alpha ^{2}.\end{aligned}}

Ο όγκος ενός ρομβικού δωδεκαέδρου είναι ίσος με

{\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {16}{9}}{\sqrt {3}}\alpha ^{3}\\&\approx 3,079\alpha ^{3}.\end{aligned}}

Το ρομβικό δωδεκάεδρο μπορεί να καλύψει πλήρως τον τριδιάστατο χώρο, κάτι ανάλογο με την κάλυψη (πλακόστρωση) του επίπεδου από εξάγωνα.

↑ Grünbaum, Branko (2009). Configurations of points and lines. Graduate Studies in Mathematics. 103. Providence, RI: American Mathematical Society, σελ. xiv+399. ISBN 978-0-8218-4308-6.
↑ Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. σελ. 151–152. ISBN 978-0-521-55432-9.