Κόλουρο δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	90
Έδρες	32 20 τρίγωνα 12 δεκάγωνα
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(3.10.10)
Συμμετρία
Συμμετρία	εικοσαεδρική (Ih)
Μετρικές σχέσεις
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Τριάκις εικοσάεδρο

Στη στερεομετρία, το κόλουρο δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 20 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα.

Ιδιότητες

• Έχει 60 κορυφές.
• Έχει 90 ακμές.
• Είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.

Μετρικές σχέσεις

Αν θεωρήσουμε $\alpha$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε

• Η ακτίνα της περιγεγραμμένης του σφαίρας, δηλαδή η απόσταση των κορυφών από το κέντρο του είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\alpha \\&\approx 2,969\alpha .\end{aligned}}$.

• Η απόσταση των ακμών από το κέντρο του είναι ίση με

${\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)\alpha \\&\approx 2,927\alpha .\end{aligned}}$

• Η απόσταση τριγωνικών εδρών από το κέντρο

${\begin{aligned}r_{3}&={\frac {1}{12}}{\sqrt {3}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)\alpha \\&\approx 2,913\alpha .\end{aligned}}$

• Η απόσταση δεκαγωνικών εδρών από το κέντρο του

${\begin{aligned}r_{10}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \\&\approx 2,49\alpha \end{aligned}}$

Εμβαδόν

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κόλουρου δωδεκαέδρου είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\\&\approx 100,991\alpha ^{2}.\end{aligned}}$

Όγκος

Ο όγκος του κόλουρου δωδεκαέδρου είναι ίσος με

${\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\\&\approx 85,04\alpha ^{3}.\end{aligned}}$

Σχετικά πολύεδρα

Κατασκευαστικά, το κόλουρο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού δωδεκαέδρου να προκύψουν κανονικά δεκάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τρίγωνα.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

Εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Κόλουρο δωδεκάεδρο στο MathWorld.
• Κόλουρο δωδεκάεδρο στο Polytope Wiki.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κόλουρο δωδεκάεδρο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για την περιγεγραμμένη σφαίρα ενός κόλουρου δωδεκαέδρου στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ένα κόλουρο δωδεκάεδρο στο Geogebra.