Κύβος

Για άλλες χρήσεις, δείτε: Κύβος (αποσαφήνιση).

Κύβος

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Είδος	Πλατωνικό στερεό, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
Ακμές	12
Έδρες	6 τετράγωνα
Σύμβολο Schläfli	{4,3}
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(4.4.4)
Συμμετρία
Συμμετρία	οκταεδρική (Oh)
Μετρικές σχέσεις
Εμβαδόν	$6\alpha ^{2}$
Όγκος	$\alpha ^{3}$
Ακτίνα εγγεγρ. σφαίρας	$r={\tfrac {1}{2}}\alpha$
Ακτίνα περιγ. σφαίρας	$R={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\alpha$
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Οκτάεδρο
Επίπεδα σχήματα	τετράγωνο

Στη στερεομετρία, ο κύβος (ή κανονικό εξάεδρο) είναι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι έδρες είναι τετράγωνα. Επειδή οι έδρες του είναι κανονικά πολύγωνα, είναι ένα από τα πέντε Πλατωνικά στερεά.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα κύβου στην καθημερινή ζωή είναι το σχήμα των ζαριών, αν εξαιρεθούν οι στρογγυλεμένες άκρες.

Ιδιότητες

• Έχει έξι έδρες που είναι ίσα τετράγωνα.
• Έχει οκτώ κορυφές.
• Έχει δώδεκα ακμές.
• Είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά.
• Οι δίεδρες γωνίες του είναι ορθές και οι στερεές ίσες και τρισορθογώνιες.
• Είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.
• Είναι περιγράψιμο σε σφαίρα.

Ανάπτυγμα

• Ένα από τα αναπτύγματα του κύβου είναι έξι τετράγωνα σε σχήμα σταυρού.
• Ο κύβος συνολικά έχει 11 αναπτύγματα.

Ανάπτυγμα κύβου.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν επιφάνειας του κύβου με μήκος ακμής $\alpha$ είναι

${\rm {E}}=6\alpha ^{2}$.

Όγκος

Ο όγκος του κύβου με μήκος ακμής $\alpha$ ισούται με την τρίτη δύναμη της ακμής του, δηλαδή

${\rm {V}}=\alpha ^{3}$.

Σημείωση: Για αυτό τον λόγο η τρίτη δύναμη καλείται επίσης και κύβος.

Όγκος κύβου με ακμή 5 κυβάκια.

Μετρικές σχέσεις

Έστω ένα κύβος με μήκος πλευράς $\alpha$

• Η διαγώνιος του έχει μήκος

$d={\sqrt {3}}\alpha$.

Απόδειξη  

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος μίας έδρας του είναι ίση με $\alpha {\sqrt {2}}$. Έπειτα στο ορθογώνιο τρίγωνο που περιλαμβάνει την διαγώνιο αυτή και μία άκμή του κύβου κάθετη σε αυτή, το Πυθαγόρειο θεώρημα, δίνει ότι η διαγώνιος είναι ίση με

${\sqrt {(\alpha {\sqrt {2}})^{2}+\alpha ^{2}}}={\sqrt {2\alpha ^{2}+\alpha ^{2}}}=\alpha {\sqrt {3}}$.

• Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του κύβου είναι

$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\alpha$.

Απόδειξη  

Η περιγεγραμμένη σφαίρα έχει ως διάμετρο την διαγώνιο του κύβου, επομένως είναι ακτίνα της είναι ίση με το μισό της.

• Η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας του κύβου είναι

$r={\frac {1}{2}}\alpha$.

Απόδειξη  

Η εγγεγραμμένη σφαίρα εφάπτεται στις έδρες του κύβου επομένως η ακτίνα της είναι ίση με το μισό της πλευράς του.

Περιγεγραμμένη σφαίρα σε κύβου.

Εγγεγραμμένη σφαίρα σε κύβο.

Αναλυτική γεωμετρία

Ο κύβος με κέντρο $(x_{0},y_{0},z_{0})$ μήκος ακμής $\alpha$ και πλευρές παράλληλες στους άξονες είναι το σχήμα με σημεία

$\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\max(|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|)\leq \alpha /2\}$.

Σχετικά σχήματα

Ο κύβος θεωρείται το τριδιάστατο ανάλογο του τετραγώνου. Σε περισσότερες διαστάσεις, το τετράγωνο και ο κύβος γενικεύονται από τον υπερκύβο.

Ιστορία

Ο διπλασιασμός του κύβου με κανόνα και διαβήτη ήταν ένα από τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, γνωστό ως Δήλιο πρόβλημα. Από τον τύπο του όγκου προκύπτει ότι, αν διπλασιασθεί η ακμή του, ο όγκος αυτού οκταπλασιάζεται. Συνεπώς, για να διπλασιασθεί ο όγκος θα πρέπει η ακμή του να πολλαπλασιασθεί με την κυβική ρίζα του 2.

Ο κύβος, ένα από τα πέντε στερεά του Πλάτωνα, θεωρήθηκε ως ένα από τα στοιχεία της φύσης από τους αλχημιστές, οι οποίοι πίστευαν ότι αντιπροσώπευε τη γη, λόγω της γεωμετρίας του. Υποστήριζαν ότι μόνο ο κύβος από όλα τα γεωμετρικά θα μπορούσε να δομήσει στερεά σώματα, γιατί είναι το μόνο γεωμετρικό στερεό το οποίο μπορεί να δομήσει ένα σώμα χωρίς εσωτερικά κενά ταυτίζοντάς τον με τη γη και τα στερεά σώματα γενικά.

Εφαρμογές

Στην Χημεία

Στην κρυσταλλογραφία μία από τις βασικότερες δομές είναι η κυβική.

Στην αρχιτεκτονική

Ο κύβος μαζί με τη σφαίρα ήταν τα δύο βασικά σχήματα που χρησιμοποιήθηκαν στην αρχιτεκτονική του ναού της Αγίας Σοφίας της Κωνσταντινούπολης. Το κυρίως κτίριο έχει κυβικό σχήμα που συμβολίζει τον επίγειο κόσμο, σε αντίθεση με τη σφαίρα, για την ακρίβεια το ημισφαίριο που είναι ο τρούλος, που συμβολίζει τον ουράνιο κόσμο ή τον κόσμο του Θεού.

Επίσης, κυβικό είναι το σχήμα του Κάαμπα (αραβ. ο Κύβος), του ιερού χώρου της Ισλαμικής θρησκείας, το οποίο πιστεύεται ότι είναι σημείο πρόσπτωσης μετεωρίτη.

Στη σύγχρονη εποχή, ο κύβος ως σχήμα έδωσε το έναυσμα για μια νέα καλλιτεχνική τάση, τον κυβισμό, της οποίας τα πρώτα έργα χαρακτηρίζονταν από την απεικόνιση της εικόνας ως συνδυασμός κύβων, εξ ού και το όνομα της τάσης. Αργότερα, αυτή η τάση ενέταξε και πολλά άλλα γεωμετρικά σχήματα. Σημαντικότερος εκπρόσωπος ήταν ο Πάμπλο Πικάσο.

Στον κύβο στηρίζεται και ένα μαθηματικό παιχνίδι του 20ού αιώνα, ο κύβος του Ρούμπικ ο οποίος αποτελείται από 26 κυβάκια τα οποία στο παιχνίδι χρειάζεται να μπουν στη σωστή θέση.

Η γεωμετρική απεικόνιση ενός τρισδιάστατου πίνακα είναι ένας κύβος που αποτελείται από πολλούς μικρότερους κύβους.

• 
  Η Αγία Σοφία
• 
  Το Κάαμπα
• 
  Παράδειγμα κυβισμού
• 
  Ο κύβος στη σύγχρονη τέχνη
• 
  Κυβικό μνημείο στο 100ό χιλιόμετρο Παρίσι-Ρουμπό
• 
  Ο κύβος στη σύγχρονη τέχνη
• 
  Ο κύβος στη σύγχρονη τέχνη
• 
  Ο κύβος στη σύγχρονη τέχνη

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του κύβος στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Κύβος στο Wikimedia Commons

Δείτε επίσης

• Μοναδιαίος κύβος
• Κανονικό τετράεδρο