Καταλανικό στερεό

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Το ρομβικό δωδεκάεδρο με διαμόρφωση εδρών V3.4.3.4.
Το δισδυάκις τριακοντάεδρο, με διαμόρφωση εδρών V4.6.10, είναι το μεγαλύτερο Καταλανικό στερεό με 120 έδρες.

Στη γεωμετρία, Καταλανικό στερεό ονομάζεται το δυϊκό πολύεδρο ενός στερεού του Αρχιμήδη, έτσι είναι γνωστό και ως Αρχιμήδειο δυϊκό. Τα Καταλανικά στερεά πήραν το όνομά τους από τον Βέλγο μαθηματικό Ευγένιο Καταλάν, που τα περιέγραψε πρώτος το 1865.

Περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα καταλανικά στερεά είναι όλα κυρτά και έχουν μεταβατικότητα εδρών και όχι κορυφών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα δυϊκά τους, τα στερεά του Αρχιμήδη, έχουν μεταβατικότητα κορυφών και όχι εδρών. Σε αντίθεση με τα Πλατωνικά στερεά και τα στερεά του Αρχιμήδη, οι έδρες των Καταλανικών στερεών είναι μη κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, το σχήμα κορυφής των Καταλανικών στερεών είναι κανονικό και έχουν σταθερές δίεδρες γωνίες. Λόγω της μεταβατικότητας των εδρών τους, τα Καταλανικά στερεά είναι ισόεδρα.

Επιπλέον, δύο από τα Καταλανικά στερεά έχουν μεταβατικότητα ακμών, το ρομβικό δωδεκάεδρο και το ρομβικό τριακοντάεδρο. Αυτά είναι τα δυϊκά των δύο ψευδοκανονικών στερεών του Αρχιμήδη (κυβοκτάεδρο και εικοσιδωδεκάεδρο αντίστοιχα).

Ακριβώς όπως τα πρίσματα και τα αντιπρίσματα που δεν θεωρούνται γενικά στερεά του Αρχιμήδη, έτσι και οι διπυραμίδες και τα τραπεζόεδρα δεν θεωρούνται γενικά Καταλανικά στερεά, παρά το γεγονός ότι έχουν μεταβατικότητα εδρών.[1]

Δύο από τα Καταλανικά στερεά είναι χειρικά, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο και το πενταγωνικό εξηκοντάεδρο, που είναι τα αντίστοιχα δυϊκά του χειρικού πεπλατυσμένου κύβου και του πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου. Το καθένα από αυτά εμφανίζεται με δύο εναντιόμορφα. Επειδή δεν καταμετρώνται ξεχωριστά τα εναντιόμορφα τραπεζόεδρα και διπυραμίδες, έτσι υπάρχουν συνολικά 13 Καταλανικά στερεά.

ΑΑ Αρχιμήδειο στερεό Καταλανικό στερεό
1 κόλουρο τετράεδρο τριάκις τετράεδρο
2 κόλουρος κύβος τριάκις οκτάεδρο
3 κόλουρο κυβοκτάεδρο δισδυάκις δωδεκάεδρο
4 κόλουρο οκτάεδρο τετράκις εξάεδρο
5 κόλουρο δωδεκάεδρο τριάκις εικοσάεδρο
6 κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο δισδυάκις τριακοντάεδρο
7 κόλουρο εικοσάεδρο πεντάκις δωδεκάεδρο
8 κυβοκτάεδρο ρομβικό δωδεκάεδρο
9 εικοσιδωδεκάεδρο ρομβικό τριακοντάεδρο
10 ρομβοκυβοκτάεδρο δελτοειδές εικοσιτετράεδρο
11 ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο δελτοειδές εξηκοντάεδρο
12 πεπλατυσμένος κύβος πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο
13 πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο πενταγωνικό εξηκοντάεδρο

Συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα καταλανικά στερεά, μαζί με τα δυϊκά τους Αρχιμήδεια στερεά, μπορούν να ομαδοποιηθούν ως προς τη συμμετρία τους (τετραεδρική, οκταεδρική και εικοσαεδρική). Υπάρχουν έξι μορφές ανά συμμετρία, ενώ η αυτοσυμμετρική τετραεδρική ομάδα έχει μόνο τρεις μοναδιαίες μορφές και δύο από αυτά αναπαράγονται με οκταεδρική συμμετρία.

Τετραεδρική συμμετρία
Αρχιμήδεια
Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png
Καταλανικά
Triakistetrahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg
Οκταεδρική συμμετρία
Αρχιμήδεια
Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png
Καταλανικά
Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
Εικοσαεδρική συμμετρία
Αρχιμήδεια
Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
Καταλανικά
Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg

Κατάλογος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ονομασία
(ονομασία δυϊκού)
ονομασία Conway
Εικόνες Ορθές
προβολές
Πολύγωνο
έδρας
Έδρες Ακμές Κορυφές Συμ.
τριάκις τετράεδρο
(κόλουρο τετράεδρο)
"kT"
τριάκις τετράεδροτριάκις τετράεδρο Dual tetrahedron t01 ae.pngDual tetrahedron t01 A2.pngDual tetrahedron t01.png Ισοσκελές
DU02 facets.png
V3.6.6
12 18 8 Td
ρομβικό δωδεκάεδρο
(κυβοκτάεδρο)
"jC"
ρομβικό δωδεκάεδρορομβικό δωδεκάεδρο Dual cube t1 v.pngDual cube t1.pngDual cube t1 B2.png Ρόμβος
DU07 facets.png
V3.4.3.4
12 24 14 Oh
τριάκις οκτάεδρο
(κόλουρος κύβος)
"kO"
τριάκις οκτάεδροτριάκις οκτάεδρο Dual truncated cube t01 e88.pngDual truncated cube t01.pngDual truncated cube t01 B2.png Ισοσκελές
DU09 facets.png
V3.8.8
24 36 14 Oh
τετράκις εξάεδρο
(κόλουρο οκτάεδρο)
"kC"
τετράκις εξάεδροτετράκις εξάεδρο Dual cube t12 e66.pngDual cube t12.pngDual cube t12 B2.png Ισοσκελές
DU08 facets.png
V4.6.6
24 36 14 Oh
δελτοειδές εικοσιτετράεδρο
(ρομβοκυβοκτάεδρο)
"oC"
δελτοειδές εικοσιτετράεδροδελτοειδές εικοσιτετράεδρο Dual cube t02 f4b.pngDual cube t02.pngDual cube t02 B2.png Δελτοειδές
DU10 facets.png
V3.4.4.4
24 48 26 Oh
δισδυάκις δωδεκάεδρο
(κόλουρο κυβοκτάεδρο)
"mC"
δισδυάκις δωδεκάεδροδισδυάκις δωδεκάεδρο Dual cube t012 f4.pngDual cube t012.pngDual cube t012 B2.png Σκαληνό
DU11 facets.png
V4.6.8
48 72 26 Oh
πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο
(πεπλατυσμένος κύβος)
"gC"
πενταγωνικό εικοσιτετράεδροπενταγωνικό εικοσιτετράεδρο (Ccw) Dual snub cube e1.pngDual snub cube A2.pngDual snub cube B2.png Πεντάγωνο
DU12 facets.png
V3.3.3.3.4
24 60 38 O
ρομβικό τριακοντάεδρο
(εικοσιδωδεκάεδρο)
"jD"
ρομβικό τριακοντάεδρορομβικό τριακοντάεδρο Dual dodecahedron t1 e.pngDual dodecahedron t1 A2.pngDual dodecahedron t1 H3.png Ρόμβος
DU24 facets.png
V3.5.3.5
30 60 32 Ih
τριάκις εικοσάεδρο
(κόλουρο δωδεκάεδρο)
"kI"
τριάκις εικοσάεδροτριάκις εικοσάεδρο Dual dodecahedron t12 exx.pngDual dodecahedron t12 A2.pngDual dodecahedron t12 H3.png Ισοσκελές
DU26 facets.png
V3.10.10
60 90 32 Ih
πεντάκις δωδεκάεδρο
(κόλουρο εικοσάεδρο)
"kD"
πεντάκις δωδεκάεδροπεντάκις δωδεκάεδρο Dual dodecahedron t01 e66.pngDual dodecahedron t01 A2.pngDual dodecahedron t01 H3.png Ισοσκελές
DU25 facets.png
V5.6.6
60 90 32 Ih
δελτοειδές εξηκοντάεδρο
(ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)
"oD"
δελτοειδές εξηκοντάεδροδελτοειδές εξηκοντάεδρο Dual dodecahedron t02 f4.pngDual dodecahedron t02 A2.pngDual dodecahedron t02 H3.png Δελτοειδές
DU27 facets.png
V3.4.5.4
60 120 62 Ih
δισδυάκις τριακοντάεδρο
(κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο)
"mD"
δισδυάκις τρικαοντάεδροδισδυάκις τρικαοντάεδρο Dual dodecahedron t012 f4.pngDual dodecahedron t012 A2.pngDual dodecahedron t012 H3.png Σκαληνό
DU28 facets.png
V4.6.10
120 180 62 Ih
πενταγωνικό εξηκοντάεδρο
(πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο)
"gD"
πενταγωνικό εξηκοντάεδροπενταγωνικό εξηκοντάεδρο (Ccw) Dual snub dodecahedron e1.pngDual snub dodecahedron A2.pngDual snub dodecahedron H2.png Πεντάγωνο
DU29 facets.png
V3.3.3.3.5
60 150 92 I

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Pugh (1976), Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Catalan, Eugène (1865). Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. 41. Paris: J. l'École Polytechnique, σελ. 1-71. 
  • Holden, Alan (1991). Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover Publications Inc. 
  • Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 
  • Wenninger, Magnus (1983), Dual Models (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Catalan solid της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).