Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο
Truncatedicosidodecahedron.jpg
(κινούμενο μοντέλο)
Κατηγορία Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες 62
30 τετράγωνα
20 εξάγωνα
12 δεκάγωνα
Ακμές 180
Κορυφές 120
Ομάδα συμμετρίας εικοσαεδρική (Ih)
Διαμόρφωση κορυφής Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
(4.6.10)
Συζυγές Disdyakis triacontahedron.png
Δισδυάκις
τριακοντάεδρο
Ανάπτυγμα Truncated icosidodecahedron flat.svg

Στη Στερεομετρία, το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο) είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 κανονικά εξάγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα. Έχει 120 κορυφές και 180 ακμές.

Οι 30 τετραγωνικές έδρες του πολυέδρου είναι συνεπίπεδες με τις 30 έδρες του ρομβικού τριακοντάεδρου, το οποίο είναι συζυγές του εικοσιδωδεκάεδρου, εξού και το δεύτερο όνομά του, μεγάλο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (συγκρίνατε με το μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο).

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου εικοσιδωδεκάεδρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν θεωρήσουμε  \alpha \,\! το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
 R = \frac{1}{2}\sqrt{31+12\sqrt{5}}\alpha  \approx 3,802 \alpha 
Απόσταση ακμών από το κέντρο  \rho = \sqrt{\frac{15}{2}+3\sqrt{5}}\alpha \approx 3,769 \alpha 
Συνολική επιφάνεια  S = 30\left(1+\sqrt{2\left(4+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{6}}\right)}\right)\alpha^2 \approx 175,031 \alpha^2 
Όγκος  V = \left(95+50\sqrt{5}\right)\alpha^3 \approx 206,803 \alpha^3 

Κατασκευαστικά, το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του και όλες οι ακμές του. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να προέλθει και από το συζυγές πολύεδρο του δωδεκαέδρου, το εικοσάεδρο.

Το όνομα κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο, το οποίο δόθηκε από τον Κέπλερ, είναι κάπως παραπλανητικό, επειδή αν αποκοπούν οι κορυφές του εικοσιδωδεκάεδρου, τότε στη θέση τους σχηματίζονται ορθογώνια παραλληλόγραμμα με αναλογία διαστάσεων 1:\phi\,\! (όπου \phi \,\! ο χρυσός αριθμός) και όχι τετράγωνα. Ωστόσο, το αποτέλεσμα είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Dodecahedron.png
Δωδεκάεδρο
Great rhombicosidodecahedron.png
Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο
Icosahedron.png
Εικοσάεδρο

Πηγές - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]