Πεντάκις δωδεκάεδρο

Πεντάκις δωδεκάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	90
Έδρες	60 ισοσκελή τρίγωνα
Ανάπτυγμα
Συμμετρία
Συμμετρία	εικοσαεδρική (Ih)
Μετρικές σχέσεις
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	κόλουρο εικοσάεδρο

Τρισδιάστατο μοντέλο πεντάκις δωδεκαέδρου.

Στη στερεομετρία, το πεντάκις δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα Καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των Αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το πεντάκις δωδεκάεδρο είναι το δυϊκό του κόλουρου εικοσάεδρου. Διαθέτει 60 έδρες που είναι ισοσκελή τρίγωνα.

Ιδιότητες

• Έχει 60 έδρες.
• Έχει 90 ακμές.
• Δεδομένου ότι οι έδρες του στερεού είναι ισοσκελή τρίγωνα, αυτό σημαίνει ότι οι ακμές του είναι δύο ειδών.

Μετρικές σχέσεις

Αν $\lambda$ το μήκος της ακμής του δυϊκού κόλουρου εικοσάεδρου, τότε το μήκος της μικρής ακμής του πεντάκις δωδεκάεδρου είναι

$s_{1}={\frac {1}{19}}(18{\sqrt {5}}-9)\lambda$,

και το μήκος της μεγάλης ακμής του είναι

$s_{2}={\frac {3}{2}}({\sqrt {5}}-1)\lambda$.

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της επιφάνειας του πεντάκις δωδεκαέδρου είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {5}{3}}{\sqrt {\frac {421+63{\sqrt {5}}}{2}}}s_{1}^{2}\\&\approx 27,935s_{1}^{2}.\end{aligned}}$

Όγκος

Ο όγκος ενός πεντάκις δωδεκαέδρου είναι ίσος με

${\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {5}{36}}(41+25{\sqrt {5}})s_{1}^{3}\\&\approx 13,459s_{1}^{3}.\end{aligned}}$

Σχετικά πολύεδρα

Το στερεό μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κανονικό δωδεκάεδρο στις έδρες του οποίου έχουν προστεθεί πενταγωνικές πυραμίδες. Αν το μήκος της ακμής του δωδεκάεδρου είναι $\lambda$, τότε το ύψος των πρόσθετων πυραμίδων είναι ίσο με

${\frac {1}{19}}{\sqrt {\frac {65+22{\sqrt {5}}}{5}}}\lambda$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Pentakis Dodecahedron στο MathWorld.
• Pentakis Dodecahedron στο Polytope Wiki.
• Pentakis Dodecahedron στο Visual Polyhedra.
• Pentakis Dodecahedron στο 4D Euclidean Space.
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ένα πεντάκις δωδεκάεδρο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ένα πεντάκις δωδεκάεδρο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για ένα πεντάκις δωδεκάεδρο και την σχέση του με άλλα πολύεδρα στο Geogebra.