Τρίγωνο

Ένα ευκλείδειο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με κορυφές ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ και πλευρές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Για άλλες χρήσεις, δείτε: Τρίγωνο (αποσαφήνιση).

Στην γεωμετρία, το τρίγωνο είναι ένα από τα βασικά σχήματα. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές.

Ένα τρίγωνο με κορυφές ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ συμβολίζεται με ${\rm {\triangle AB\Gamma }}$ ή απλά ${\rm {AB\Gamma }}$. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και οι μεσοκάθετοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του.

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία οποιαδήποτε τρία σημεία, μη συνευθειακά, ορίζουν ένα μοναδικό τρίγωνο και ένα μοναδικό επίπεδο .

Είδη τριγώνων

Με βάση τα μήκη των πλευρών

Ταξινόμηση των τριγώνων με βάση τα κύρια στοιχεία τους.

Τα τρίγωνα μπορούν να ταξινομηθούν συγκρίνοντας τις πλευρές μεταξύ τους:

• Σκαληνό: όταν όλες οι πλευρές του είναι άνισες ή ισοδύναμα όλες οι γωνίες του είναι άνισες.
• Ισοσκελές: όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Ένα ισοσκελές έχει και δύο γωνίες ίσες: είναι οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις δύο ίσες πλευρές. Αυτό είναι το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου του Ευκλείδη.
• Ισόπλευρο: όταν όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με όλες τις γωνίες του ίσες με 60°.

• 
  Σκαληνό τρίγωνο
• 
  Ισοσκελές τρίγωνο
• 
  Ισόπλευρο τρίγωνο

Σε διαγράμματα που παρουσιάζουν τρίγωνα (και άλλα γεωμετρικά σχήματα), τα σημάδια Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, κλπ κατά μήκος των πλευρών χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν πλευρές με ίσο μήκος. (Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ίδιο σημάδι υποδιαίρεσης και στις 3 πλευρές, το ισοσκελές στις 2 πλευρές ενώ το σκαληνό έχει διαφορετικά σημάδια υποδιαίρεσης, δηλώνοντας έτσι ότι δεν έχει ίσες πλευρές.) Ομοίως τα τόξα στο εσωτερικό των κορυφών χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ίσες γωνίες.

Με βάση τις εσωτερικές γωνίες

Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν σύμφωνα με τις εσωτερικές γωνίες τους:

Το Πυθαγόρειο θεώρημα λέει ότι το συνολικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων ισούται με το συνολικό εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων.

• Ορθογώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μία από τις εσωτερικές γωνίες του ίση με 90° (ορθή γωνία). Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία είναι η υποτείνουσα πλευρά και είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες πλευρές.

Στα ορθογώνια τρίγωνα ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των δύο καθέτων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας: α² + β² = γ², όπου α, β είναι τα μήκη των καθέτων και γ είναι το μήκος της υποτείνουσας.

Ένα μη-ορθογώνιο τρίγωνο καλείται πλάγιο.

• Αμβλυγώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μια εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 90°. Αν γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά τότε α² + β² < γ².
• Οξυγώνιο: το τρίγωνο που έχει όλες τις εσωτερικές γωνίες του μικρότερες από 90°. Αν γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά τότε α² + β² > γ².

Ορθογώνιο	Αμβλυγώνιο	Οξυγώνιο
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Πλάγια

Βασικά στοιχεία

Οι εσωτερικές (πράσινες) και οι εξωτερικές (μπλε) γωνίες ενός τριγώνου.

Τα τρίγωνα θεωρούνται σχήματα δύο διαστάσεων εκτός και αν το κείμενο ορίζει διαφορετικά (βλέπε μη-επίπεδα τρίγωνα, παρακάτω). Τα πρώτα θεωρήματα παρουσιάστηκαν από τον Ευκλείδη στα βιβλία 1-4 των Στοιχείων του, γύρω στο 300 π.Χ.

Σε ένα τρίγωνο εάν προσθέσετε τα μέτρα των γωνιών προκύπτει 180° (χρησιμοποιήθηκε ίδιο χρώμα για τις ίσες γωνίες).

Εάν προσθέσουμε τις γωνίες ενός τριγώνου που ανήκει σε ένα επίπεδο (δηλ. ευκλείδειο χώρο) το άθροισμα τους είναι πάντα 180°. Αυτό επιτρέπει να βρούμε το μέτρο μίας γωνίας εάν μας δίνονται τα μέτρα των άλλων δύο. Μία εξωτερική γωνία αποτελείται από τη μία πλευρά της εσωτερικής γωνίας και την προέκταση της άλλης πλευράς, είναι επομένως παραπληρωματική προς την αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Το μέτρο της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι παραπληρωματικές με αυτήν. Αυτό είναι το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας. Το άθροισμα των τριών εξωτερικών γωνιών του κάθε τριγώνου είναι 360°.

Όμοια τρίγωνα

Δύο τρίγωνα λέγονται όμοια, αν κάθε γωνία ενός τριγώνου έχει το ίδιο μέτρο με την αντίστοιχη γωνία στο άλλο τρίγωνο. Οι αντίστοιχες πλευρές των όμοιων τριγώνων έχουν ανάλογα μήκη.

Ισχύουν τα εξής κριτήρια ομοιότητας τριγώνων:

• Εάν δύο γωνίες του ενός είναι ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες στο άλλο, τα τρίγωνα είναι όμοια.
• Εάν δύο πλευρές του ενός είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες στο άλλο και η περιεχόμενη αυτών των πλευρών γωνία είναι ίση με την αντίστοιχή της, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια. (Η περιεχόμενη γωνία για οποιαδήποτε δύο πλευρές ενός πολυγώνου είναι η εσωτερική γωνία μεταξύ των δύο πλευρών).
• Εάν τρεις πλευρές του ενός είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες στο άλλο, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια.

Χρησιμοποιώντας τα ορθογώνια τρίγωνα και την έννοια της ομοιότητας, μπορούν να οριστούν αρκετές έννοιες της τριγωνομετρίας, όπως το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη.

Ίσα τρίγωνα

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν όλες τους τις πλευρές και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα (και συχνά αποκαλούνται ως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων):

• Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση με την αντίστοιχή της.

• Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μία πλευρά και δύο προσκείμενες στην πλευρά γωνίες ίσες με τις αντίστοιχές τους.

• Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Ύπαρξη τριγώνου

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο τριών μη-συνευθειακών σημείων, το άθροισμα των μηκών δύο οποιωνδήποτε πλευρών του είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς. Ισχύει και το αντίστροφο. Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως τριγωνική ανισότητα. Η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία είναι συνευθειακά (εκφυλισμένο τρίγωνο). Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν άθροισμα μικρότερο από τρίτο, δεν μπορεί να κατασκευαστεί τρίγωνο με αυτά.

Σημεία, ευθείες και κύκλοι που συνδέονται με ένα τρίγωνο

Υπάρχουν εκατοντάδες διαφορετικές κατασκευές που βρίσκουν ένα ειδικό σημείο (και συχνά εσωτερικό του τριγώνου), που ικανοποιεί μία μοναδική ιδιότητα. Συχνά αυτά τα σημεία κατασκευάζονται βρίσκοντας τρεις ευθείες που σχετίζονται με συμμετρικό τρόπο με τις τρεις πλευρές ή κορυφές και μετά αποδεικνύουμε ότι οι τρεις ευθείες συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο: ένα σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη της ύπαρξης αυτών είναι το θεώρημα του Τσέβα, το οποίο δίνει ένα κριτήριο για το πότε τρεις τέτοιες ευθείες συντρέχουν. Όμοια, ευθείες που συνδέονται με ένα τρίγωνο κατασκευάζονται συχνά, βρίσκοντας ότι τρία συμμετρικά κατασκευασμένα σημεία είναι συγγραμμικά: εδώ το θεώρημα του Μενελάου μας δίνει ένα χρήσιμο γενικό κριτήριο. Παρακάτω θα δούμε μερικές από τις πιο γνωστές τέτοιες κατασκευές.

Το σημείο τομής των διχοτόμων είναι το έγκεντρο.

Οι τρεις παρεγγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου.

Μία διχοτόμος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μία κορυφή και χωρίζει την αντίστοιχη γωνία σε δύο ίσα μέρη. Οι τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο ${\rm {I}}$, το έγκεντρο. Το έγκεντρο είναι επίσης το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του. Υπάρχουν και τρεις άλλοι σημαντικοί κύκλοι: ο παρεγγεγραμμένος βρίσκεται εξωτερικά του τριγώνου και εφάπτεται σε μια πλευρά, καθώς και στις προεκτάσεις των άλλων δύο.

Το σημείο τομής των διάμεσων είναι το βαρύκεντρο.

Μία διάμεσος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή και το μέσο (το σημείο που χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα) της απέναντι πλευράς, και διαιρεί το τρίγωνο σε δύο περιοχές ίσου εμβαδού. Οι τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο ${\rm {G}}$, το βαρύκεντρο του τριγώνου. Το βαρύκεντρο ενός στερεού τριγωνικού αντικειμένου είναι επίσης το κέντρο βάρους (μάζας) του: το αντικείμενο δηλ. μπορεί να ισορροπήσει σε αυτό, μέσα σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας. Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα με αναλογία 2:1. Συγκεκριμένα η απόσταση του βαρύκεντρου από την κορυφή είναι διπλάσια από την απόσταση του βαρύκεντρου από το μέσο της απέναντι πλευράς.

Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων είναι το περίκεντρο.

Η μεσοκάθετη της πλευράς ενός τριγώνου είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο της πλευράς και είναι κάθετη σε αυτή, δηλαδή σχηματίζει ορθή γωνία με αυτή. Οι τρεις μεσοκάθετοι συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο ${\rm {O}}$, το οποίο είναι το περίκεντρο του τριγώνου. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, του κύκλου δηλαδή που διέρχεται από τις τρεις κορυφές. Η διάμετρος αυτού του κύκλου υπολογίζεται με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων.

Αν το περίκεντρο βρίσκεται επάνω σε μία πλευρά τότε αυτή θα είναι διάμετρος και από σχετικό θεώρημα προκύπτει ότι η απέναντι γωνία θα είναι ορθή. Εάν το περίκεντρο βρίσκεται μέσα στον τρίγωνο τότε αυτό είναι οξυγώνιο, εάν όμως βρίσκεται έξω τότε είναι αμβλυγώνιο.

Το σημείο τομής των υψών είναι το ορθόκεντρο.

Το ύψος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μία κορυφή και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά (δηλαδή σχηματίζει μια ορθή γωνία). Η απέναντι πλευρά καλείται βάση ως προς το ύψος αυτό και το σημείο όπου το ύψος τέμνει τη βάση ονομάζεται ίχνος του ύψους αυτού. Το μήκος του ύψους είναι η απόσταση της κορυφής από τη βάση. Τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο ${\rm {H}}$, που ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου.

Τα μέσα των πλευρών αποτελούν τον κύκλο των εννέα σημείων. Τα ίχνη των υψών βρίσκονται επάνω σε αυτόν καθώς επίσης και τα μέσα των ${\rm {AH}}$, ${\rm {BH}}$, ${\rm {\Gamma H}}$.

Τα μέσα των τριών πλευρών και τα ίχνη των τριών υψών βρίσκονται σε έναν μοναδικό κύκλο, τον κύκλο των εννέα σημείων του τριγώνου. Τα υπόλοιπα τρία σημεία είναι τα μέσα των τμημάτων των υψών μεταξύ των κορυφών και του ορθοκέντρου. Ο κύκλος των εννέα σημείων εφάπτεται με τον εγγεγραμμένο κύκλο (στο σημείο Feuerbach) και με τους τρεις παρεγγεγραμένους. Η ακτίνα του κύκλου των εννέα σημείων είναι το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Το κέντρο του συμβολίζεται με ${\rm {N}}$.

Το ορθόκεντρο (μπλε) και το περίκεντρο (πράσινο) ορίζουν την ευθεία Όιλερ (κόκκινη) που επάνω της βρίσκεται το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων (κόκκινο) και το βαρύκεντρο (πορτοκαλί).

Το ορθόκεντρο ${\rm {H}}$ και το περίκεντρο ${\rm {O}}$ σχηματίζουν μία ευθεία γνωστή ως η ευθεία του Όιλερ (κόκκινη γραμμή). Το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων ${\rm {N}}$ βρίσκεται επάνω στην ευθεία Όιλερ, στο μέσο μεταξύ του ορθοκέντρου και του περικέντρου, δηλ. ${\rm {NH=NO}}$. Το βαρύκεντρο βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία Όιλερ και η απόσταση του βαρυκέντρου από το ορθόκεντρο είναι διπλάσια της απόστασης του βαρυκέντρου από το περίκεντρο, δηλ. ${\rm {GH=2GO}}$.

Αν κάποιος πάρει το συμμετρικό της διαμέσου ως προς τη διχοτόμο που περνά από την ίδια κορυφή, τότε λαμβάνεται η συμμετρoδιάμεσος. Οι τρεις συμμετρoδιάμεσοι τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο ${\rm {K}}$.

Υπολογισμός των πλευρών και των γωνιών

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό του μήκους μιας πλευράς ή το μέγεθος μίας γωνίας. Ορισμένες μέθοδοι είναι κατάλληλες για τον υπολογισμό των τιμών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ενώ σε άλλες καταστάσεις απαιτούνται πιο πολύπλοκες μέθοδοι.

Τριγωνομετρικές σχέσεις σε ορθογώνια τρίγωνα

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πάντα μία γωνία 90° (π/2 ακτίνια). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συσχετίζουν τα μήκη των πλευρών και τις (μη-ορθές) γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Στα ορθογώνια τρίγωνα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε τις άγνωστες γωνίες και τα μήκη των αγνώστων πλευρών. Οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές ως:

• Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία, ή ορίζεται ως η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου.
• Η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά απέναντι από την γωνία που μας ενδιαφέρει.
• η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά που έρχεται σε επαφή με τη γωνία που μας ενδιαφέρει (και την ορθή γωνία).

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη

Το ημίτονο μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Στην περίπτωσή μας

$\sin \phi ={\frac {\text{Απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\alpha }{\gamma }}$.

Σημειώστε ότι ή αναλογία αυτή δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει επιλεγεί. Κάθε άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία $\phi$ είναι όμοιο με το συγκεκριμένο.

Το συνημίτονο μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της προσκείμενης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Στην περίπτωση μας

$\cos \phi ={\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\beta }{\gamma }}$.

Η εφαπτομένη μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευρά προς το μήκος της προσκείμενης πλευράς.

$\tan \phi ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }}$.

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των εσωτερικών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου γνωρίζοντας το μήκος δύο οποιονδήποτε πλευρών. Το τόξο ημιτόνου ($\arcsin$) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της απέναντι πλευράς και το μήκος της υποτείνουσας,

$\phi =\arcsin \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}\right)$.

Το τόξο συνημιτόνου ($\arccos$) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της προσκείμενης και το μήκος της υποτείνουσας,

$\phi =\arccos \left({\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}\right)$.

Το τόξο εφαπτομένης ($\arctan$) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της απέναντι και το μήκος της προσκείμενης,

$\phi =\arctan \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}\right)$.

Σε εισαγωγικά μαθήματα γεωμετρίας και τριγωνομετρίας, χρησιμοποιείται συχνά ο συμβολισμός $\sin ^{-1}$, $\cos ^{-1}$ κ.λπ. στην θέση των $\arcsin$, $\arccos$, κ.λπ. Ωστόσο ο συμβολισμός με $\arcsin$, $\arccos$, κ.λπ. είναι συνηθισμένος στο χώρο των μαθηματικών, όπου οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συχνά είναι υψωμένες σε δυνάμεις, έτσι αποφεύγεται η σύγχυση μεταξύ του αντίστροφου αριθμού και της αντίστροφης συνάρτησης.

Νόμος ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων

Ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με κορυφές ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ και πλευρές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Ο νόμος των ημιτόνων αναφέρει ότι ο λόγος του μήκους της μίας πλευράς προς το ημίτονο της απέναντης γωνίας του είναι σταθερός, δηλαδή

${\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}.$

Ο λόγος αυτός είναι ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μία άλλη ερμηνεία του θεωρήματος είναι ότι κάθε τρίγωνο με γωνίες ${\rm {\hat {A}}}$, ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι όμοιο με ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσα με $\sin {\rm {A}}$, $\sin {\rm {B}}$ και $\sin {\rm {\Gamma }}$. Αυτό το τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής: σχεδιάζουμε έναν κύκλο με διάμετρο 1 και εγγράφουμε σε αυτόν μία γωνία ${\rm {\hat {A}}}$. Οι πλευρές τις τέμνουν τον κύκλο στα ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$. Κατασκευάζουμε τις γωνίες ${\rm {\hat {B}}}$, ${\rm {\hat {\Gamma }}}$. Στο τρίγωνο που προκύπτει, η πλευρά απέναντι από την κορυφή ${\rm {A}}$ έχει μήκος $\sin {\rm {A}}$, απέναντι από τη ${\rm {B}}$ έχει μήκος ${\rm {\sin {\rm {B}}}}$ και απέναντι από τη ${\rm {\Gamma }}$ έχει μήκος $\sin {\rm {\Gamma }}$.

Ο νόμος των συνημιτόνων συνδέει το μήκος μίας πλευράς του τριγώνου με το μήκος των δύο άλλων πλευρών και της περιεχόμενης γωνίας.Σύμφωνα με τον νόμο, αν σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες ${\rm {{\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}$ αντίστοιχα, δίνονται οι δύο πλευρές $\alpha$ και $\beta$ και η περιεχόμενη γωνία ${\rm {\hat {\Gamma }}}$, τότε για τον υπολογισμό της τρίτης πλευράς $\gamma$, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω τύπος:

$\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cos {\rm {\Gamma }}$ και όμοια

$\beta ^{2}=\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-2\gamma \alpha \cos {\rm {B}}$,

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\beta \gamma \cos {\rm {A}}$.

Εάν τα μήκη και των τριών πλευρών του τριγώνου είναι γνωστά τότε μπορεί να υπολογιστεί η γωνία ${\rm {\hat {A}}}$ και όμοια οι ${\rm {{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}$ ως εξής:

${\hat {\rm {A}}}=\arccos \left({\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }}\right)$,

${\hat {\rm {B}}}=\arccos \left({\frac {\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}}{2\alpha \gamma }}\right)$,

${\hat {\rm {\Gamma }}}=\arccos \left({\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}\right)$.

Ο νόμος των εφαπτομένων, που είναι λιγότερο γνωστός από τους άλλους δύο αναφέρει ότι:

${\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\rm {A-B)}}\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\rm {A+B)}}\right)}}.$

Αν και δεν χρησιμοποιείται πολύ συχνά, μπορούμε, αν γνωρίζουμε δύο πλευρές και μία απέναντι γωνία, να βρούμε την άλλη απέναντι γωνία. Ή αν γνωρίζουμε δύο γωνίες και μία πλευρά, μπορούμε να βρούμε ακόμη μία πλευρά.

Επίλυση τριγώνου

Η επίλυση τριγώνου είναι ένας ιστορικός όρος για την επίλυση του κύριου τριγωνομετρικού προβλήματος: όταν ξέρουμε τρία από τα χαρακτηριστικά στοιχεία του τριγώνου, δηλ. από τα $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ${\rm {\hat {A}}}$, ${\rm {\hat {B}}}$, ${\rm {\hat {\Gamma }}}$, να βρεθούν τα υπόλοιπα. Το τρίγωνο μπορεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο ή σε μία σφαίρα. Αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται συχνά σε διάφορες τριγωνομετρικές εφαρμογές, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία, η κατασκευή, η πλοήγηση, κλπ.

Υπολογισμός εμβαδού ενός τριγώνου

Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι το ήμισυ του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος.

Στην γεωμετρία, ο υπολογισμός του εμβαδού ${\rm {E}}$ ενός τριγώνου είναι ένα στοιχειώδες πρόβλημα για το οποίο υπάρχουν διάφοροι τύποι. Ο πιο γνωστός και απλός τύπος είναι:

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot \upsilon$,

όπου το $b$ είναι το μήκος μιας πλευράς (βάσης) του τριγώνου, και $\upsilon$ είναι το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή την πλευρά. Ο όρος βάση σημαίνει οποιαδήποτε πλευρά και το ύψος υποδηλώνει το μήκος μίας κάθετου από την κορυφή απέναντι από την πλευρά μέχρι την ίδια την πλευρά. Το 499 μ.Χ ο Αριαμπάτα, ένας μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος από την κλασσική εποχή των μαθηματικών και της αστρονομίας στην Ινδία, χρησιμοποίησε αυτή την μέθοδο στο έργο του Αραμπατίγια (ενότητα 2.6). Ο τύπος αυτός είναι χρήσιμος μόνο εάν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα το ύψος. Αυτό στην πράξη είναι δύσκολο, π.χ. ο ιδιοκτήτης ενός τριγωνικού κτήματος μπορεί να μετρήσει την πλευρά, όχι όμως το ύψος. Έτσι βρέθηκαν διάφοροι τύποι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, ανάλογα με το τί είναι γνωστό σχετικά με το τρίγωνο. Παρακάτω δίνονται κάποιοι από τους πιο γνωστούς τύπους για το εμβαδόν.

• (Τύπος του Ήρωνα) Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$, έχουμε ότι

${\rm {E}}={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Αν ${\hat {\rm {A}}}$, ${\hat {\rm {B}}}$, ${\hat {\rm {\Gamma }}}$ οι γωνίες του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\beta \gamma \sin {\hat {\rm {A}}}={\tfrac {1}{2}}\alpha \gamma \sin {\hat {\rm {B}}}={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}=\tau \cdot \rho$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και $\rho _{\rm {A}},\rho _{\rm {B}},\rho _{\rm {\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος, $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένος κύκλος και $\rho _{\rm {A}},\rho _{\rm {B}},\rho _{\rm {\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}$.

• Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι ${\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}})$, ${\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})$ και ${\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})$, τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{\rm {A}}&y_{\rm {A}}&1\\x_{\rm {B}}&y_{\rm {B}}&1\\x_{\rm {\Gamma }}&y_{\rm {\Gamma }}&1\end{vmatrix}}.$

Βασικές μετρικές σχέσεις

Παρακάτω δίνονται βασικές μετρικές σχέσεις σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ημιπερίμετρο $\tau$.

• (Μήκη διαμέσων) Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων, βρίσκουμε τα μήκη των διαμέσων $\mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}$ του τριγώνου

$\mu _{\rm {A}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}$.

• (Μήκη εσωτερικών διχοτόμων) Το μήκος των εσωτερικών διχοτόμων $\delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}$ δίνονται από τον τύπο

$\delta _{\rm {A}}={\frac {2{\sqrt {\beta \gamma \cdot \tau \cdot (\tau -\alpha )}}}{\beta +\gamma }}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}$.

• (Μήκη εξωτερικών διχοτόμων) Το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων $\delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'$ δίνονται από τον τύπο

$\delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

• (Μήκη υψών) Από τον τύπο του Ήρωνα, το μήκος των υψών $\upsilon _{\rm {A}},\upsilon _{\rm {B}},\upsilon _{\rm {\Gamma }}$ δίνονται από τον τύπο

$\upsilon _{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$.

• (Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου) Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}$.

• (Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου) Η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$\rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}$.

Βασικές ιδιότητες

• Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).

Απόδειξη  

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία.

Από την κορυφή ${\rm {A}}$ τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ φέρνουμε παράλληλη ${\rm {x'Ax}}$ προς την απέναντι πλευρά ${\rm {B\Gamma }}$, όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι ${\rm {x'Ax}}$, ${\rm {B\Gamma }}$ είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών ${\rm {{\hat {B}}=x'AB}}$ ως εντός εναλλάξ και όμοια ${\rm {{\hat {\Gamma }}=xA\Gamma }}$, άρα:

${\rm {{\hat {A}}+{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}=A+x'AB+xA\Gamma =180^{\circ }}}$. $\square$

• Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

Απόδειξη  

Αν ${\rm {{\hat {B}}={\hat {B}}'}}$, ${\rm {{\hat {\Gamma }}={\hat {\Gamma }}'}}$ τότε ${\rm {{\hat {A}}=180^{\circ }-{\hat {B}}-{\hat {\Gamma }}=180^{\circ }-{\hat {B}}'-{\hat {\Gamma }}'={\hat {A}}'}}$. $\quad \square$

• Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των (δύο) απέναντι εσωτερικών γωνιών.

Απόδειξη  

Έστω ${\rm {{\hat {A}}'}}$ η εξωτερική γωνία του ${\rm {\hat {A}}}$, τότε ως παραπληρωματική της ${\rm {\hat {A}}}$ ισχύει επίσης ότι ${\rm {{\hat {A}}'=180^{\circ }-{\hat {A}}=180^{\circ }-(180^{\circ }-{\hat {B}}-{\hat {\Gamma }})={\hat {B}}-{\hat {\Gamma }}={\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}}$. $\quad \square$

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου θα είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη  

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Έστω το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {M_{B},M_{\Gamma }}}$ τα μέσα των ${\rm {A\Gamma ,AB}}$ αντίστοιχα. Αν ${\rm {M_{\Gamma }'M_{B}}}$ είναι το συμμετρικό του ${\rm {M_{\Gamma }}}$ ως προς το ${\rm {M_{B}}}$ τότε το ${\rm {AM_{\Gamma }'\Gamma M_{\Gamma }}}$ είναι παραλληλόγραμμο (αφού οι διαγώνιοί του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'}}$ διχοτομούνται). Τότε τα ${\rm {M_{\Gamma }'\Gamma }}$ και ${\rm {AM_{\Gamma }}}$ είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα ${\rm {M_{\Gamma }'\Gamma }}$, ${\rm {M_{\Gamma }B}}$ άρα το ${\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'\Gamma B}}$ είναι παραλληλόγραμμο (αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές). Τότε έχουμε: ${\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'}}$, ${\rm {B\Gamma }}$ παράλληλα και ίσα, άρα $2{\rm {M_{\Gamma }M_{B}}}$, ${\rm {B\Gamma }}$ παράλληλα και ίσα, άρα ${\rm {M_{B}M_{\Gamma }}}$, ${\rm {B\Gamma /2}}$ παράλληλα και ίσα.

• Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Απόδειξη  

Η παράλληλη από το μέσο ${\rm {M_{\Gamma }}}$ πλευράς προς άλλη πλευρά διέρχεται από το μέσο ${\rm {M_{B}}}$ της τρίτης πλευράς.

Έστω ${\rm {AB\Gamma }}$ ένα τρίγωνο και ${\rm {M_{\Gamma }}}$ το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε ${\rm {M_{\Gamma }x}}$ παράλληλη προς τη ${\rm {B\Gamma }}$ που τέμνει την ${\rm {A\Gamma }}$ στο ${\rm {M_{B}'}}$. Αν το ${\rm {M_{B}'}}$ δεν είναι το μέσο της ${\rm {A\Gamma }}$, ας υποθέσουμε ότι είναι το ${\rm {M_{B}}}$. Τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η ${\rm {M_{\Gamma }M_{B}}}$ θα είναι παράλληλη προς τη ${\rm {B\Gamma }}$. Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το ${\rm {M_{\Gamma }}}$ θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη ${\rm {B\Gamma }}$. Άρα το ${\rm {M_{B}}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Gamma }}$.

Βασικά θεωρήματα

• (Θεώρημα του Όιλερ) Αν $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} }),(\mathrm {I_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} }),(\mathrm {I_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho ,\quad$ $\mathrm {OI_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad$ $\mathrm {OI_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad$ και $\quad \mathrm {OI_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.$

• (Θεώρημα Καρνό) Αν $\rho$ η ακτίνα του εγεγγραμμένου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $\mathrm {OM_{\mathrm {A} }}$, $\mathrm {OM_{\mathrm {B} }}$ και $\mathrm {OM_{\mathrm {\Gamma } }}$ οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OM_{A}} +\mathrm {OM_{B}} +\mathrm {OM_{\Gamma }} =R+\rho$.

• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου και $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, τότε

$\mathrm {H_{A}H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } ,\quad$ $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} ,\quad$ και $\quad \mathrm {H_{\Gamma }H_{A}} \perp \mathrm {OB}$.

• (Σχέση Λάιμπνιτς) Έστω ${\rm {G}}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P}}$ ένα σημείο του επιπέδου. Τότε,

${\rm {PA^{2}+PB^{2}+P\Gamma ^{2}=GA^{2}+GB^{2}+G\Gamma ^{2}+3\cdot PG^{2}}}$.

• (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.

Το τρίγωνο Μόρλεϊ.

• (Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ) Σε κάθε τρίγωνο τα τρία σημεία τομής των γειτονικών τριχοτόμων, σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο ονομάζεται τρίγωνο Μόρλεϊ.

Σχήματα εγγεγραμμένα σε τρίγωνο

Όπως συζητήθηκε πιο πάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό εγγεγραμμένο κύκλο που είναι εσωτερικός στο τρίγωνο και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές.

Από όλες τις ελλείψεις που μπορούν να εγγραφούν μέσα σε ένα τρίγωνο (έτσι ώστε οι πλευρές του να εφάπτονται σε αυτήν) αυτή που εφτάπτεται στα μέσα των πλευρών έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. Μια τέτοια λέγεται εγγεγραμμένη έλλειψη του J. Steiner. Το εμβαδό της είναι ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\cdot \mathrm {E}$, όπου ${\rm {E}}$ είναι το εμβαδό του τριγώνου.

Η εγγεγραμμένη έλλειψη του J.Steiner.

Το θεώρημα του M. Madden δείχνει πώς μπορούμε να βρούμε τις εστίες της έλλειψης αυτής:

Για οποιαδήποτε έλλειψη, εφαπτόμενη σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, με εστίες ${\rm {P}}$ και ${\rm {Q}}$ ισχύει:

${\rm {{\frac {PA\cdot QA}{\Gamma A\cdot AB}}+{\frac {PB\cdot QB}{AB\cdot B\Gamma }}+{\frac {P\Gamma \cdot Q\Gamma }{B\Gamma \cdot \Gamma A}}=1}}$.

Κάθε τρίγωνο έχει τρία εγγεγραμμένα τετράγωνα στο εσωτερικό του, με τις κορυφές του τετραγώνου να βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Δύο κορυφές του τετραγώνου θα βρίσκονται πάνω στην ίδια πλευρά του τριγώνου (δηλ. μια πλευρά του τετραγώνου θα είναι μέρος μίας πλευράς του τριγώνου). Ωστόσο στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου, δύο από τα εγγεγραμμένα τετράγωνα συμπίπτουν (με μία κορυφή του τετραγώνου στην ορθή γωνία) και έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο υπάρχουν δύο εγγεγραμμένα τετράγωνα. Επίσης στην περίπτωση ενός αμβλυγωνίου τριγώνου, υπάρχει μόνο ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο (με μία πλευρά του επί της μεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου). Γενικά στη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου βρίσκεται η πλευρά του μικρότερου εφαπτόμενου τετραγώνου. Αν ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο έχει πλευρά μήκους $q$ και το τρίγωνο έχει πλευρά, μέρος της οποίας είναι η πλευρά του τετραγώνου, μήκους $\alpha$, τότε τα $q$, $\alpha$ και το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {E}}$ σχετίζονται με τον τύπο:

$q={\frac {2\mathrm {E} \alpha }{\alpha ^{2}+2\mathrm {E} }}$.

Ο μεγαλύτερος δυνατός λόγος του εμβαδού του εγγεγραμμένου τετραγώνου προς το εμβαδό του τριγώνου είναι 1/2, όπου εμφανίζεται όταν $\alpha ^{2}=2\mathrm {E}$, $q=\alpha /2$ και το ύψος του τριγώνου προς την πλευρά $\alpha$ είναι ίσο με $\alpha$. Η μικρότερη δυνατή αναλογία της πλευράς ενός εγγεγραμμένου τετραγώνου προς την πλευρά ενός άλλου εγγεγραμμένου τετραγώνου στο ίδιο (μη αμβλυγώνιο) τρίγωνο είναι $2{\sqrt {2}}/3=0.94\ldots$. .

Σχήματα περιγεγραμμένα σε τρίγωνο

Η περιγεγραμμένη έλλειψη του J.Steiner

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό περιγεγραμμένο κύκλο που διέρχεται από τις τρεις κορυφές, του οποίου το κέντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων των πλευρών του τριγώνου.

Από όλες τις ελλείψεις που διέρχονται από τις κορυφές του τριγώνου, η έλλειψη που το κέντρο της βρίσκεται στο βαρύκεντρο του τριγώνου, έχει το μικρότερο εμβαδό. Μια τέτοια λέγεται περιγγεγραμμένη έλλειψη του J.Steiner και το εμβαδό της είναι ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}\cdot {\rm {E}}$, όπου ${\rm {E}}$ είναι το εμβαδό του τριγώνου. Παρατηρούμε ότι είναι 4 φορές το εμβαδό της εγγεγραμμένης έλλειψης του J.Steiner.

Εφαρμογές τριγώνων

Αρχιτεκτονική

Η Flatiron Building στη Νέα Υόρκη διαμορφώνεται όπως ένα τριγωνικό πρίσμα

Στη Νέα Υόρκη, στο Broadway, οι δρόμοι τέμνονται με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργούν οικόπεδα με τριγωνικό σχήμα, και τα κτίρια που έχουν κατασκευαστεί εκεί έχουν αυτά τα σχήματα. Ένα τέτοιο κτήριο είναι το τριγωνικού σχήματος κτίριο Flatiron, που παρόλο που παραδέχονται οι διαχειριστές των ακινήτων ότι δεν είναι εύκολο να τοποθετηθούν μοντέρνα έπιπλα, δεν το έχει εμποδίσει από το να γίνει ένα κτήριο ορόσημο. Σπίτια με τριγωνικά θέματα έχουν αναπτύξει και σχεδιαστές από την Νορβηγία με τριγωνικό θέματα. Τριγωνικά σχήματα εμφανίζονται σε πολλές εκκλησίες καθώς και δημόσια κτίρια, συμπεριλαμβανομένων πανεπιστημίων , καθώς καινοτόμων σπιτιών.

Τα τρίγωνα είναι ανθεκτικό, ενώ ένα ορθογώνιο μπορεί να καταρρεύσει σε μια παραλληλόγραμμη πίεση σε ένα από τα σημεία του, τα τριγωνικά έχουν μια φυσική δύναμη που υποστηρίζει την κατασκευή έναντι πλευρικών πιέσεων. Ένα τρίγωνο δεν θα αλλάξει σχήμα εκτός αν οι πλευρές του κάμπτονται ή να επεκταθεί ή να σπάσει ή αν σπάσει αρθρώσεις του. Στην ουσία, κάθε μία από τις τρεις πλευρές στηρίζει τις άλλες δύο. Ένα ορθογώνιο, αντίθετα, εξαρτάται περισσότερο από την αντοχή των αρθρώσεων της σε μια δομική έννοια. Μερικές καινοτόμοι σχεδιαστές έχουν προτείνει τούβλα κάνοντας τα όχι από ορθογώνια, αλλά με τριγωνικά σχήματα που μπορούν να συνδυαστούν σε τρεις διαστάσεις.

Γέφυρες τύπου howe truss.

Μηχανική

Στην μηχανική, πολλές δομές που εμφανίζονται είναι τριγωνικές. Για παράδειγμα, πολλές γέφυρες απαρτίζονται κατά κύριο λόγο από δοκάρια τοποθετημένα σε τριγωνικά σχήματα. Τέτοια παραδείγματα είναι οι γέφυρες howe truss, Pratt και Warren.

Τριγωνοποίηση Delaunay και τα διάγραμματα Voronoi.

Υπολογιστική γεωμετρία και γραφικά υπολογιστών

Στην υπολογιστική γεωμετρία και τα γραφικά υπολογιστών, πολλές φορές τα πολύγωνα ή τα πολύεδρα χωρίζονται σε επιμέρους τρίγωνα μέσω της τριγωνοποίησης, ώστε να μπορεί ο υπολογιστής να τα επεξεργαστεί πιο αποδοτικά. Για παράδειγμα για την εύρεση των κοντινότερων γειτόνων για $n$ σημεία, χρησιμοποιείται η τριγωνοποίηση Delaunay.

Μη-επίπεδα τρίγωνα

Ένα μη-επίπεδο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο το οποίο δεν περιέχεται σε έναν (επίπεδο) χώρο. Μερικά παραδείγματα μη-επίπεδων τριγώνων σε μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι τα σφαιρικά τρίγωνα στην σφαιρική γεωμετρία και τα υπερβολικά τρίγωνα στην υπερβολική γεωμετρία.

Ενώ τα μέτρα των εσωτερικών γωνιών στα επίπεδα τρίγωνα πάντα έχουν άθροισμα 180°, ένα υπερβολικό τρίγωνο έχει άθροισμα των γωνιών του λιγότερο από 180° ενώ ένα σφαιρικό τρίγωνο έχει περισσότερο από 180°. Ένα υπερβολικό τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί σε μία αρνητικής καμπυλότητος επιφάνεια, όπως είναι μία σαγμοειδής επιφάνεια, ενώ ένα σφαιρικό τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί σε μία θετικής καμπυλότητος επιφάνεια, όπως είναι μια σφαίρα. Έτσι, αν κάποιος σχεδιάζει ένα γιγαντιαίο τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης, θα βρει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι μεγαλύτερο από 180 °. Στην πραγματικότητα θα είναι μεταξύ 180° και 540° . Ειδικότερα, είναι δυνατό να σχεδιαστεί ένα τρίγωνο σε μια σφαίρα με κάθε γωνία ίση με 90°, οπότε το άθροισμα των γωνιών είναι 270°.

Συγκεκριμένα, σε μια σφαίρα το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι

$180^{\circ }\cdot (1+4f)$,

όπου $f$ είναι το ποσοστό της σφαίρας που περικλείεται από το τρίγωνο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε σχεδιάσεισει ένα τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης με κορυφές στο Βόρειο Πόλο, σε ένα σημείο στον ισημερινό με γεωγραφικό μήκος 0° και σε ένα σημείο στον ισημερινό με γεωγραφικό μήκος 90° δυτικό. Η μέγιστος κύκλος που ενώνει τα δύο τελευταία σημεία είναι ο ισημερινός και οι μέγιστοι κύκλοι που ενώνουν κάθε ένα από αυτά τα σημεία με τον Βόρειο Πόλο είναι ένας μεσημβρινός. Έτσι υπάρχουν ορθές γωνίες στα δύο σημεία στον ισημερινό και η γωνία στο Βόρειο Πόλο είναι επίσης 90° (επειδή οι άλλες δύο κορυφές διαφέρουν κατά 90° γεωγραφικού μήκους). Έτσι το άθροισμα των γωνιών σε αυτό το τρίγωνο είναι 90° + 90° + 90° = 270°. Το τρίγωνο περικλείει το 1/4 του βόρειου ημισφαιρίου (τα 90°/360°, όπως φαίνεται από το Βόρειο Πόλο) και ως εκ τούτου το 1/8 της επιφάνειας της Γης, δηλ. f=1/8. Έτσι ο τύπος δίνει σωστά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ως 270°.

Από τον παραπάνω τύπο μπορούμε επίσης να δούμε ότι η επιφάνεια της Γης είναι τοπικά επίπεδη: Αν σχεδιάσουμε ένα οσοδήποτε μικρό τρίγωνο στη γειτονιά ενός σημείου στην επιφάνεια της Γης, το κλάσμα f της επιφάνειας της Γης το οποίο περικλείεται από το τρίγωνο θα να είναι περίπου μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, ο τύπος δίνει περίπου 180°, όπου γνωρίζουμε ότι είναι το άθροισμα στην Ευκλείδεια γεωμετρία, άρα το τρίγωνο είναι περίπου επίπεδο.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρία
• Τετράπλευρο
• Πολύγωνο