Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$ .^[1]^:73-74^[2]^:140-141^[3]^:86 Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός οξυγώνιου, ενός ορθογωνίου και ενός αμβλυγώνιου τριγώνου.

Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.^[3]^: 86

Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για κάθε πολύγωνο. Τα πολύγωνα με περιγεγραμμένο κύκλο λέγονται εγγεγραμμένα.

Απόδειξη ύπαρξης

Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη

Θεωρούμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών ${\rm {AB}}$ και ${\rm {B\Gamma }}$ , οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\mathrm {O}$ καθώς είναι ευθείες κάθετες στις μη-παραλληλες ${\rm {AB}}$ και ${\rm {B\Gamma }}$ . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι

\mathrm {OA} =\mathrm {OB}

και

\mathrm {OB} =\mathrm {O\Gamma }

.

Άρα $\mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma }$ , συνεπώς το σημείο ${\rm {O}}$ ανήκει στην μεσοκάθετο του $\mathrm {A\Gamma }$ . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των $\mathrm {AB}$ , $\mathrm {B\Gamma }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ διέρχονται από το $\mathrm {O}$ . Συνεπώς, ο κύκλος με κέντρο $\mathrm {O}$ και ακτίνα $\mathrm {OA}$ διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου. $\square$

Μετρικές σχέσεις

(Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα $R$ περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι

{\frac {\alpha }{\sin {\hat {\rm {A}}}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}=2R.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν $\mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\beta \gamma \sin {\hat {\rm {A}}}$ , έχουμε ότι

R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4\mathrm {E} }}

,

και από τον τύπο του Ήρωνα^[4]

R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}

.

όπου

\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )

η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

\alpha ^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right):\;\beta ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right):\;\gamma ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right).

Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

\cos {\hat {\rm {A}}}:\;\cos {\hat {\rm {B}}}:\;\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}

.

Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε

\rho \cdot R={\frac {\alpha \beta \gamma }{2\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}

.

Σχετικά θεωρήματα

(Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ , το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO}$ .
(Θεώρημα του Όιλερ) Αν $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} }),(\mathrm {I_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} }),(\mathrm {I_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε

\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho ,\quad

\mathrm {OI_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad

\mathrm {OI_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad

και

\quad \mathrm {OI_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.

Αν $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο και $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, τότε

\mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})

.

(Θεώρημα Καρνό) Αν $\rho$ η ακτίνα του εγεγγραμμένου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $\mathrm {OM_{\mathrm {A} }}$ , $\mathrm {OM_{\mathrm {B} }}$ και $\mathrm {OM_{\mathrm {\Gamma } }}$ οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε

\mathrm {OM_{A}} +\mathrm {OM_{B}} +\mathrm {OM_{\Gamma }} =R+\rho

.

(Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου και $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, τότε

\mathrm {H_{A}H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } ,\quad

\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} ,\quad

και

\quad \mathrm {H_{\Gamma }H_{A}} \perp \mathrm {OB}

.

Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.^[1]^: 77^[2]^: 270
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.^[1]^: 76
(Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.^[2]^: 272-273
Το περίκεντρο είναι το σημείο ${\rm {M}}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:^[5]

f({\rm {M}})=\max \left({\rm {MA}},{\rm {MB}},{\rm {M\Gamma }}\right)

.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:

Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$ και ακτίνα το μέγιστο από τα $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$ .
Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {B}$ .
Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {\Gamma }$ .
Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ , και τα $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$ αντίστοιχα.
Το σημείο τομής ${\rm {O}}$ αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος ${\rm {O,A}}$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ ^3,0 ^3,1 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
↑ Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 44.
↑ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi:10.4171/EM/273.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[Tav-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[T57-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[A75-3] 3,0 ^3,1 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.

[4] Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 44.

[5] Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi:10.4171/EM/273.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]