Θεώρημα Μενελάου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μενελάου δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου να είναι συνευθειακά.

Πιο συγκεκριμένα, αν μία ευθεία τέμνει τις πλευρές ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ αντίστοιχα (που είναι διαφορετικά από τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ ), τότε^[1]^:161-168^[2]

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Η εξίσωση χρησιμοποιεί προσανατολισμένα μήκη, δηλ. το μήκος ${\rm {\overline {AB}}}$ είναι θετικό ή αρνητικό αν το ${\rm {A}}$ είναι στα αριστερά ή στα δεξιά του ${\rm {B}}$ σύμφωνα με κάποιον σταθερό προσανατολισμό της ευθείας. Για παράδειγμα, το ${\rm {A\Delta /AB}}$ έχει θετική τιμή αν το ${\rm {\Delta }}$ είναι μεταξύ του ${\rm {A}}$ και του $B$ και αρνητική διαφορετικά.

Ισχύει επίσης το αντίστροφο, δηλαδή αν για τα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ των πλευρών ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ (ή των προεκτάσεων τους) ισχύει ότι

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1

,

τότε τα ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ είναι συνευθειακά.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Μενέλαο τον Αλεξανδρέα, στου οποίου το έργο Σφαιρικά γίνεται η παλαιότερη γνωστή αναφορά. Το θεώρημα είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα Τσέβα.^[3]^[4]^[5]^[6]

Απόδειξη

Απόδειξη

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και μία ευθεία $\varepsilon$ που τέμνει τις πλευρές ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ του τριγώνου (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ αντίστοιχα. Από το αξίωμα του Πας, είτε δύο από τα ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ είναι εσωτερικά των πλευρών είτε κανένα. Επομένως, το πρόσημο του γινομένου των τριών λόγων είναι $-1$ και μένει να δείξουμε ότι

{\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {\Delta B}}}\cdot {\frac {\rm {BZ}}{\rm {Z\Gamma }}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma E}}{\rm {EA}}}=1.

Θεωρούμε τις προβολές ${\rm {P_{A},P_{B},P_{\Gamma }}}$ των τριών κορυφών ${\rm {A,B,\Gamma }}$ στην ευθεία $\varepsilon$ . Έπειτα, τα τρίγωνα ${\rm {AP_{A}\Delta }}$ και ${\rm {BP_{B}\Delta }}$ έχουν μία γωνία ορθή και ${\rm {\angle B\Delta P_{B}=\angle A\Delta P_{A}}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες), άρα είναι όμοια. Επομένως,

${\frac {\rm {AP_{A}}}{\rm {BP_{B}}}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$ .

(1)

Έπειτα, τα τρίγωνα ${\rm {AP_{A}E}}$ και ${\rm {\Gamma P_{\Gamma }E}}$ έχουν μία γωνία ορθή και ${\rm {\angle AEP_{A}=\angle \Gamma EP_{\Gamma }}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες), άρα είναι όμοια. Συνεπώς,

${\frac {\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}{\rm {AP_{A}}}}={\frac {\rm {AE}}{\rm {\Gamma E}}}$ .

(2)

Αντίστοιχα, τα ${\rm {BP_{B}Z}}$ και ${\rm {\Gamma P_{\Gamma }Z}}$ έχουν την ${\hat {\rm {Z}}}$ κοινή και τις ${\rm {BP_{B}Z,\Gamma P_{\Gamma }Z}}$ ορθές, άρα είναι όμοια και

${\frac {\rm {BP_{B}}}{\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}}={\frac {\rm {BZ}}{\rm {\Gamma Z}}}$ .

(3)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) και (3) κατά μέλη έχουμε ότι

{\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {\Delta B}}}\cdot {\frac {\rm {BZ}}{\rm {Z\Gamma }}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma E}}{\rm {EA}}}={\frac {\rm {AP_{A}}}{\rm {BP_{B}}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}{\rm {AP_{A}}}}\cdot {\frac {\rm {BP_{B}}}{\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}}=1.

Απόδειξη αντιστρόφου

Απόδειξη

Το αντίστροφο προκύπτει χρησιμοποιώντας το ευθύ θεώρημα. Έστω τρία σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ των πλευρών ${\rm {AB,\Gamma ,B\Gamma }}$ (ή των προεκτάσεων τους) που ικανοποιούν

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Έστω $Z'$ η τομή του φορέα της ${\rm {\Delta E}}$ με την ${\rm {B\Gamma }}$ . Τότε από το ευθύ έχουμε ότι

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ'}}}{\overline {\rm {Z'\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι

{\frac {\overline {\rm {BZ'}}}{\overline {\rm {Z'\Gamma }}}}={\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}

.

Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα υπάρχει μοναδικό σημείο με δοσμένο λόγο και επομένως τα ${\rm {Z}}$ και ${\rm {Z'}}$ ταυτίζονται.

Ιστορία

Η πιο παλιά γνωστή αναφορά του θεωρήματος είναι στο έργο Σφαιρικά του Μενελάου.^[7] Εκεί εμφανίζεται η εκδοχή του θεωρήματος στο επίπεδο ως λήμμα, για την απόδειξη της εκδοχής του θεωρήματος στη σφαίρα.

Στο έργο Μαθηματική σύνταξις, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος εφαρμόζει το θεώρημα σε πολλές περιπτώσεις της σφαιρικής γεωμετρίας. Κατά τη χρυσή εποχή του Ισλάμ (8ος-14ος αι.) οι Μουσουλμάνοι λόγιοι αφιέρωσαν έναν αριθμό από έργα, που σχετίζονται με τη σπουδή του θεωρήματος του Πτολεμαίου και αναφέρονται ως η πρόταση η σχετική με τις τέμνουσες (shakl al-qatta). Το πλήρες τετράπλευρο εκαλείτο το σχήμα των τεμνουσών στην ορολογία τους. Στο έργο Τα κλειδιά της Αστρονομίας ο Αλ-Μπιρουνί έχει έναν κατάλογο αυτών των εργασιών, που μπορεί να ταξινομηθούν είτε ως σπουδές σαν μέρος των σχολίων στην Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (όπως είναι οι εργασίες του αλ-Ναϋρίζι και του αλ-Καζίν, οι οποίες δείχνουν ειδικές περιπτώσεις του θεωρήματος του Μενελάου, όπως ο νόμος των ημιτόνων), είτε ως ανεξάρτητες εργασίες όπως:

Η Μελέτη στη μορφή των τεμνουσών (Risala fi shakl al-qatta) του Ταμπίτ ιμπν Κουρρά.
Το έργο Βγάζοντας το πέπλο του μυστηρίου από τη μορφή των τεμνουσών (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta.^{[Σημείωση 1]} Η χαμένη αυτή μελέτη αναφέρεται από τον Αλ-Τουσί και τον Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσί.
Εργασία του αλ-Σίτζι.
Το έργο Tahdhib του Αμπού Νασρ ιμπν Ιράκ.

Δείτε επίσης

Θεώρημα Τσέβα

Σημειώσεις

↑ Πιο απλά γνωστό ως Το βιβλίο επί των τεμνουσών (Kitab al-shakl al-qatta) ή στην Ευρώπη ως Η μελέτη επί του πλήρους τετραπλεύρου.

Παραπομπές

↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.
↑ Russell, John Wellesley (1905). «Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem""». Pure Geometry. Clarendon Press. σελ. 6.
↑ Pollard, John M. (Ιουλίου 2000). «84.30 Ceva = (Menelaus) 2». The Mathematical Gazette 84 (500): 268–271. doi:10.2307/3621658. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-07_84_500/page/268.
↑ Benıtez, Julio (2007). «A Unified Proof of Ceva and Menelaus’ Theorems Using Projective Geometry». Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf.
↑ Green, H. G. (Μαΐου 1957). «On the Theorems of Ceva and Menelaus». The American Mathematical Monthly 64 (5): 354. doi:10.2307/2309603. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1957-05_64_5/page/354.
↑ Klamkin, Murray S.; Liu, Andy (1 Φεβρουαρίου 1992). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Ceva and Menelaus». Mathematics Magazine 65 (1): 48. doi:10.2307/2691362. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1992-02_65_1/page/48.
↑ Roshdi Rashed· Αθανάσιος Παπαδόπουλος (2017). Τα σφαιρικά του Μενελάου: πρώιμη μετάφραση και η έκδοση του al-Mahani'/al-Harawi. Scientia Graeco-Arabica. De Gruyter. ISBN 978-3-11-057142-4.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[8] Πιο απλά γνωστό ως Το βιβλίο επί των τεμνουσών (Kitab al-shakl al-qatta) ή στην Ευρώπη ως Η μελέτη επί του πλήρους τετραπλεύρου.

[1] Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.

[2] Russell, John Wellesley (1905). «Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem""». Pure Geometry. Clarendon Press. σελ. 6.

[3] Pollard, John M. (Ιουλίου 2000). «84.30 Ceva = (Menelaus) 2». The Mathematical Gazette 84 (500): 268–271. doi:10.2307/3621658. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-07_84_500/page/268.

[4] Benıtez, Julio (2007). «A Unified Proof of Ceva and Menelaus’ Theorems Using Projective Geometry». Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf.

[5] Green, H. G. (Μαΐου 1957). «On the Theorems of Ceva and Menelaus». The American Mathematical Monthly 64 (5): 354. doi:10.2307/2309603. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1957-05_64_5/page/354.

[6] Klamkin, Murray S.; Liu, Andy (1 Φεβρουαρίου 1992). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Ceva and Menelaus». Mathematics Magazine 65 (1): 48. doi:10.2307/2691362. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1992-02_65_1/page/48.

[7] Roshdi Rashed· Αθανάσιος Παπαδόπουλος (2017). Τα σφαιρικά του Μενελάου: πρώιμη μετάφραση και η έκδοση του al-Mahani'/al-Harawi. Scientia Graeco-Arabica. De Gruyter. ISBN 978-3-11-057142-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[Σημείωση 1]