Θεώρημα Βιβιάνι

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βιβιάνι (αναφέρεται και ως θεώρημα Viviani) λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και για $\mathrm {P}$ ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι^[1]^:65-66

d_{1}+d_{2}+d_{3}=u

,

όπου $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις πλευρές του τριγώνου και $u$ το ύψος του τριγώνου.

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:

\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).

Χωρίζοντας το αρχικό τρίγωνο στα τρίγωνα $\mathrm {APB} ,\mathrm {AP\Gamma } ,\mathrm {BP\Gamma }$ , έχουμε ότι

\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {APB} }+\mathrm {E} _{\mathrm {AP\Gamma } }+\mathrm {E} _{\mathrm {BP\Gamma } }.

Επομένως, αν $x$ είναι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε

{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{3}={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot (d_{1}+d_{2}+d_{3}).

Απλοποιώντας το ${\tfrac {1}{2}}x$ , καταλήγουμε στην ζητούμενη έκφραση

u=d_{1}+d_{2}+d_{3}

.

Επεκτάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για ισοσκελές τρίγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } =x$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm {P}$ της $\mathrm {B\Gamma }$ . Αν $d_{1}$ και $d_{2}$ είναι οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$ , και $d$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$ , τότε^[1]^:64-65

d_{1}+d_{2}=u

.

Απόδειξη: Χωρίζοντας το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ στα τρίγωνα $\mathrm {ABP}$ και $\mathrm {A\Gamma P}$ , έχουμε ότι

\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma P} }

.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι

{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}

.

Απλοποιώντας το ${\tfrac {1}{2}}x$ , λαμβάνουμε ότι

u=d_{1}+d_{2}

.

Για εξωτερικό σημείο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Βιβιάνι αφορά τα σημεία $\mathrm {P}$ που είναι εσωτερικά του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ . Όταν το $\mathrm {P}$ είναι εξωτερικό σημείο προς την πλευρά $\mathrm {B\Gamma }$ , τότε ο τύπος αλλάζει σε

u=d_{2}+d_{3}-d_{1}.

Απόδειξη: Θεωρούμε τα τρίγωνα $\mathrm {APB}$ και $\mathrm {AP\Gamma }$ . Τότε,

\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma P} }-\mathrm {E} _{\mathrm {B\Gamma P} }

.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου, έχουμε ότι

{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{3}-{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}

.

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

Για κανονικά πολύγωνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο $\mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}$ και ένα εσωτερικό του σημείο $\mathrm {P}$ . Αν $d$ η απόσταση του περίκεντρου από τις πλευρές και $d_{1},\ldots ,d_{n}$ οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις πλευρές $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2},\ldots ,\mathrm {A} _{n-1}\mathrm {A} _{n},\mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{1}$ , τότε ισχύει ότι

d_{1}+\ldots +d_{n}=n\cdot d.

Η γενίκευση του θεωρήματος Βιβιάνι για το τετράγωνο και το πεντάγωνο.

(Απόδειξη): Θεωρούμε τα τρίγωνα $\mathrm {A} _{1}\mathrm {P} \mathrm {A} _{2},\ldots ,\mathrm {A} _{n}\mathrm {P} \mathrm {A} _{1}$ . Το εμβαδό του πολυγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδόν των τριγώνων, άρα

{\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\cdot d_{1}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{1}\cdot d_{n}={\tfrac {1}{2}}\cdot x\cdot (d_{1}+\ldots +d_{n}).

Αντίστοιχα, για το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου, οι αποστάσεις προς κάθε μία από τις πλευρές είναι $d$ . Επομένως, το εμβαδόν του πολυγώνου δίνεται από τον τύπο