Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές και .[1]:73-74[2]:140-141[3]:86 Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.[3]: 86
Απόδειξη ύπαρξης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Απόδειξη |
Θεωρούμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών και , οι οποίες τέμνονται στο σημείο καθώς είναι ευθείες κάθετες στις μη-παραλληλες και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι
Άρα , συνεπώς το σημείο ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των , και διέρχονται από το . Συνεπώς, ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου. |
Μετρικές σχέσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι
- Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν , έχουμε ότι
- ,
- και από τον τύπο του Ήρωνα[4]
- .
- όπου η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
- Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
- Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
- .
- Αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε
- .
Σχετικά θεωρήματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο , το ορθόκεντρο και το περίκεντρο είναι συγγραμμικά και .
- (Θεώρημα του Όιλερ) Αν είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε
- και
- Αν το ορθόκεντρο και το περίκεντρο, τότε
- .
- (Θεώρημα Καρνό) Αν η ακτίνα του εγεγγραμμένου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και , και οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
- .
- (Θεώρημα Νάγκελ) Αν είναι τα ύψη του τριγώνου και το περίκεντρο, τότε
- και .
- Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 77 [2]: 270
- Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 76
- (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.[2]: 272-273
- Το περίκεντρο είναι το σημείο του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:[5]
- .
Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:
- Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα , και και ακτίνα το μέγιστο από τα και .
- Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των κύκλων με κέντρο το και το .
- Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των κύκλων με κέντρο το και το .
- Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα και , και τα και αντίστοιχα.
- Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
- Βαρύκεντρο τριγώνου
- Ορθόκεντρο τριγώνου
- Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
- Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
Περαιτέρω ανάγνωση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
- ↑ 3,0 3,1 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
- ↑ Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 44.
- ↑ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi: .
Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |