Θεώρημα του Μενελάου

Το θεώρημα του Μενελάου στην περίπτωση όπου η ευθεία DEF περνά από το εσωτερικό του τριγώνου ABC.

Το Θεώρημα του Μενελάου, που πήρε το όνομά του από τον Μενέλαο τον Αλεξανδρέα, αναφέρεται σε ένα τρίγωνο ΑΒC της Επιπεδομετρίας. Σύμφωνα με τη διατύπωση του θεωρήματος, αν μία ευθεία τέμνει τις πλευρές BC, CA, AB του τριγώνου στα σημεία D, E, F αντίστοιχα (που είναι διαφορετικά από τα A, B, C), τότε

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.$

ή πιο απλά

$AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.$

Η εξίσωση χρησιμοποιεί προσανατολισμένα μήκη, δηλ. το μήκος ΑΒ είναι θετικό ή αρνητικό αν το Α είναι στα αριστερά ή στα δεξιά του Β σύμφωνα με κάποιον σταθερό προσανατολισμό της ευθείας. Για παράδειγμα, το ΑF/FΒ έχει θετική τιμή αν το F είναι μεταξύ του Α και του Β και αρνητική διαφορετικά.

Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές: αν για τα σημεία D, E, F των πλευρών BC, CA, AB ισχύει ότι

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,$

τότε τα D, E, F είναι συγγραμμικά. Το αντίστροφο συχνά περιλαμβάνεται ως μέρος του θεωρήματος.

Το θεώρημα του Μενελάου είναι όμοιο με αυτό του Τσέβα: τα δύο θεωρήματα διαφέρουν μόνο στο πρόσημο.

Ιστορία

Δεν είναι βέβαιο, ποιος ανακάλυψε το θεώρημα· πάντως η πιο αρχαία εμφάνισή του υπάρχει στα Σφαιρικά του Μενελάου. Εκεί εμφανίζεται η εκδοχή του θεωρήματος στο επίπεδο ως λήμμα, για την απόδειξη της εκδοχής του θεωρήματος στη σφαίρα.

Στην Αλμαγέστη ο Κλαύδιος Πτολεμαίος εφαρμόζει το θεώρημα σε πολλές περιπτώσεις της Σφαιρικής Γεωμετρίας. Κατά τη χρυσή περίοδο του Ισλάμ (8ος-14ος αι.) οι Μουσουλμάνοι λόγιοι αφιέρωσαν έναν αριθμό από έργα, που σχετίζονται με τη σπουδή του θεωρήματος του Πτολεμαίου και αναφέρονται ως η πρόταση η σχετική με τις τέμνουσες (shakl al-qatta). Το πλήρες τετράπλευρο εκαλείτο το σχήμα των τεμνουσών στην ορολογία τους. Στο έργο Τα κλειδιά της Αστρονομίας ο Αλ-Μπιρουνί έχει κατάλογο αυτών των εργασιών, που μπορεί να ταξινομηθούν είτε ως σπουδές σαν μέρος των σχολίων στην Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (όπως είναι οι εργασίες του αλ-Ναϋρίζι και του αλ-Καζίν, οι οποίες δείχνουν ειδικές περιπτώσεις του θεωρήματος του Μενελάου, όπως ο νόμος των ημιτόνων), είτε ως ανεξάρτητες εργασίες όπως:

• Η Μελέτη στη μορφή των τεμνουσών (Risala fi shakl al-qatta) του Ταμπίτ ιμπν Κουρρά.
• Το έργο Βγάζοντας το πέπλο του μυστηρίου από τη μορφή των τεμνουσών (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta), πιο απλά γνωστό ως Το βιβλίο επί των τεμνουσών (Kitab al-shakl al-qatta) ή στην Ευρώπη ως Η μελέτη επί του πλήρους τετραπλεύρου. Η χαμένη αυτή μελέτη αναφέρεται από τον Αλ-Τουσί και τον Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσί.
• Εργασία του αλ-Σίτζι.
• Το έργο Tahdhib του Αμπού Νασρ ιμπν Ιράκ.
• Roshdi Rashed και Αθανασίου Παπαδοπούλου: Τα σφαιρικά του Μενελάου: πρώιμη μετάφραση και η έκδοση του al-Mahani'/al-Harawi. Είναι μία κριτική έκδοση στα Σφαιρικά του Μενελάου από Αραβικά χειρόγραφα, με ιστορικά και μαθηματικά σχόλια. De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. (ISBN 978-3-11-057142-4)