Διάμεσος (γεωμετρία)

Διάμεσος
Ταξινόμηση
Dewey	516
MSC2010	51Mxx
	π; σ; ε;

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος διχοτομεί οποιαδήποτε γωνία μιας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Σχέση με το κέντρο βάρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε διάμεσος ενός τριγώνου διέρχεται από την τομή των διαμέσων του (βαρύκεντρο) , το οποίο είναι το κέντρο βάρους ενός αντικειμένου ομοιόμορφης πυκνότητας σε σχήμα τριγώνου. Έτσι, το αντικείμενο θα ισορροπεί για κάθε γραμμή που περνά μέσα από το κέντρο βάρους του, συμπεριλαμβανομένης οποιασδήποτε διαμέσου.

Διαίρεση σε ίσα μέρη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε διάμεσος διαιρεί το εμβαδόν του τριγώνου στο μισό του, εξ ου και το όνομα. (Κάθε άλλη γραμμή που χωρίζει το εμβαδόν του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη, δεν περνά από το κέντρο βάρους του.) [1] Οι τρεις διάμεσοι διαιρούν το τρίγωνο σε έξι μικρότερα τρίγωνα ίσων εμβαδών.

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρήστε ένα τρίγωνο ABC Έστω D το μέσο της ${\overline {AB}}$ , E το μέσο της ${\overline {BC}}$ , F το μέσο της ${\overline {AC}}$ , και O το κέντρο βάρους.

Εξ ορισμού, $AD=DB,AF=FC,BE=EC\,$ . Επομένως $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$ και $[ABE]=[ACE]\,$ , όπου $[ABC]$ αντιπροσωπεύει το εμβαδόν του τριγώνου $\triangle ABC$ , αυτό ισχύει διότι σε κάθε περίπτωση τα δύο τρίγωνα έχουν ίσες τις βάσεις τους, έχουν κοινό ύψος από τις βάσεις τους και το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με το μισό του γινομένου της βάσης του με το αντίστοιχο σε αυτή ύψος.