Διάμεσος
A
M
{\displaystyle \mathrm {AM} }
του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
που αντιστοιχεί στην κορυφή
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
(και
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
το μέσο της
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
).
Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.
Στη γεωμετρία , η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως
μ
A
,
μ
B
,
μ
Γ
{\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}}
ή
μ
α
,
μ
β
,
μ
γ
{\displaystyle \mu _{\alpha },\mu _{\beta },\mu _{\gamma }}
αντίστοιχα.
Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.
Θεώρημα: [1] [1] :142-143 Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
, οι τρεις διάμεσοι
A
M
A
,
B
M
B
,
Γ
M
Γ
{\displaystyle \mathrm {AM_{A}} ,\mathrm {BM_{B}} ,\mathrm {\Gamma M_{\Gamma }} }
διέρχονται από το ίδιο σημείο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους ) του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει ότι
A
G
=
2
3
μ
A
{\displaystyle \mathrm {AG} ={\tfrac {2}{3}}\mu _{\rm {A}}}
.
Σχήμα για την πρώτη απόδειξη.
(Απόδειξη 1η ) Έστω
B
M
B
{\displaystyle {\rm {BM_{B}}}}
και
Γ
M
Γ
{\displaystyle {\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}}
οι διάμεσοι του τριγώνου και
G
′
{\displaystyle {\rm {G'}}}
το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο
A
′
{\displaystyle {\rm {A'}}}
το συμμετρικό του
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
ως προς το
G
′
{\displaystyle {\rm {G'}}}
, και
M
′
{\displaystyle {\rm {M'}}}
το σημείο τομής του
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
με το
A
′
G
′
{\displaystyle {\rm {A'G'}}}
.
Τα ευθύγραμμα τμήματα
M
B
G
′
{\displaystyle {\rm {{M_{B}G}'}}}
και
B
A
′
{\displaystyle {\rm {BA'}}}
χωρίζουν τo
A
Γ
{\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}
και
G
′
A
′
{\displaystyle {\rm {G'A'}}}
σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή , προκύπτει ότι
M
Γ
G
′
/
/
B
A
′
{\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}}
,
και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα
M
Γ
G
′
{\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'}}}
και
Γ
A
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}}
M
B
G
′
/
/
Γ
A
′
.
{\displaystyle {\rm {M_{B}G'//\Gamma A'.}}}
Επομένως, το τετράπλευρο
B
A
′
Γ
G
′
{\displaystyle {\rm {BA'\Gamma G'}}}
έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο . Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα
M
′
{\displaystyle {\rm {M'}}}
είναι το μέσο του
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
και άρα
A
M
′
{\displaystyle {\rm {AM'}}}
η διάμεσος της κορυφής
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
. Επίσης,
M
′
{\displaystyle {\rm {M'}}}
το μέσο του
G
′
A
′
{\displaystyle {\rm {G'A'}}}
και άρα
A
G
=
2
3
A
M
′
{\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}}
.
◻
{\displaystyle \square }
(Απόδειξη 2η ) Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
και το σημείο
O
G
→
=
1
3
⋅
(
O
A
→
+
O
B
→
+
O
Γ
→
)
.
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OG}}}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}).}
Θα δείξουμε ότι η προέκταση της
A
G
{\displaystyle {\rm {AG}}}
κατά
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
είναι διάμεσος.
O
A
→
+
3
2
A
G
→
=
O
A
→
+
1
2
⋅
(
O
A
→
+
O
B
→
+
O
Γ
→
)
−
3
2
O
A
→
=
1
2
(
O
B
→
+
O
Γ
→
)
,
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {AG}}}={\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {OA}}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}),}
που είναι το μέσο του
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
.
◻
{\displaystyle \square }
Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.
Θεώρημα: [2] :41 [1] :372 [3] :121 Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
με διάμεσο την
A
M
{\displaystyle {\rm {AM}}}
, ισχύει ότι
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
2
+
1
2
B
Γ
2
{\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot AM^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}
.
(Απόδειξη) Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
A
M
B
{\displaystyle {\rm {AMB}}}
έχουμε ότι
A
B
2
=
A
M
2
+
M
B
2
−
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi }
.
(1 )
Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
A
M
Γ
{\displaystyle {\rm {AM\Gamma }}}
έχουμε ότι
A
Γ
2
=
A
M
2
+
M
Γ
2
−
2
⋅
A
M
⋅
M
Γ
⋅
cos
(
180
o
−
ϕ
)
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}-2\cdot AM\cdot M\Gamma }}\cdot \cos(180^{o}-\phi )}
A
Γ
2
=
A
M
2
+
M
B
2
+
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle {\phantom {\rm {A\Gamma ^{2}}}}={\rm {AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi }
,
(2 )
καθώς
M
B
=
M
Γ
{\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma }}}
, αφού
M
{\displaystyle {\rm {M}}}
το μέσο του
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
.
Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1 ) και (2 ), λαμβάνουμε ότι
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
2
+
2
M
B
2
.
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.}
Χρησιμοποιώντας ότι
M
B
=
M
Γ
=
1
2
B
Γ
{\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma ={\tfrac {1}{2}}B\Gamma }}}
λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση.
◻
{\displaystyle \square }
Πόρισμα: Το μήκος της διαμέσου
μ
a
{\displaystyle \mu _{a}}
δίνεται από τον τύπο
μ
A
=
1
2
2
β
2
+
2
γ
2
−
α
2
{\displaystyle \mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}}
,
και αντίστοιχα
μ
B
=
1
2
2
α
2
+
2
γ
2
−
β
2
{\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}}
και
μ
Γ
=
1
2
2
α
2
+
2
β
2
−
γ
2
{\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}
.
Σχήμα απόδειξης δεύτερου θεωρήματος διαμέσων.
Θεώρημα: [2] :41 [1] :373 [3] :122 Σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
με
A
Γ
>
A
B
{\displaystyle {\rm {A\Gamma >AB}}}
, διάμεσο την
A
M
{\displaystyle {\rm {AM}}}
και ύψος
A
H
{\displaystyle {\rm {AH}}}
, ισχύει ότι
A
Γ
2
−
A
B
2
=
2
⋅
B
Γ
⋅
M
H
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}}
.
(Απόδειξη) Αντίστοιχα με την απόδειξη του 1ου θεωρήματος των διαμέσων, έχουμε ότι
A
B
2
=
A
M
2
+
M
B
2
−
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}}
,
και
A
Γ
2
=
A
M
2
+
M
B
2
+
2
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}}
.
Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι
A
Γ
2
−
A
B
2
=
4
⋅
A
M
⋅
M
B
⋅
cos
ϕ
=
2
⋅
B
Γ
⋅
M
H
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}}
,
ολοκληρώνοντας την απόδειξη.
◻
{\displaystyle \square }
Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν .
Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
,[4] [2] :42
μ
A
2
+
μ
B
2
+
μ
Γ
2
=
3
4
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{2}+\mu _{\rm {B}}^{2}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{2}={\tfrac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
,
και
μ
A
4
+
μ
B
4
+
μ
Γ
4
=
9
16
⋅
(
α
4
+
β
4
+
γ
4
)
{\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{4}+\mu _{\rm {B}}^{4}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{4}={\tfrac {9}{16}}\cdot (\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}
.
Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
,[4]
3
4
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
<
μ
A
+
μ
B
+
μ
Γ
<
3
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }}<{\tfrac {3}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
.
Αν
A
B
>
A
Γ
>
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {B\Gamma } }
, τότε
μ
Γ
<
μ
B
<
μ
A
{\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}<\mu _{\rm {B}}<\mu _{\rm {A}}}
.
Αν
A
B
>
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } }
, τότε
A
B
−
A
Γ
2
<
μ
A
<
A
B
+
A
Γ
2
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {A\Gamma } }{2}}<\mu _{\rm {A}}<{\tfrac {\mathrm {AB} +\mathrm {A\Gamma } }{2}}}
.
Αν
A
^
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}
οξεία γωνία, τότε
A
M
>
B
Γ
2
{\displaystyle \mathrm {AM} >{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}
.
Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο ):
Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
και
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
και ακτίνα
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
.
Βρίσκουμε τα σημεία τομής
T
1
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}}
και
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{2}}
των δύο κύκλων.
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα
T
1
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}}
.
Βρίσκουμε το σημείο τομής
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
του
T
1
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}}
με το
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
.
Ενώνουμε τα σημεία
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.
↑ 2,0 2,1 2,2 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ 3,0 3,1 Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ 4,0 4,1 Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996: pp. 86-87.