Διάμεσος (γεωμετρία)

Διάμεσος

Ταξινόμηση
Dewey	516
MSC2010	51Mxx

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος διχοτομεί οποιαδήποτε γωνία μιας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Σχέση με το κέντρο βάρους

Κάθε διάμεσος ενός τριγώνου διέρχεται από την τομή των διαμέσων του (βαρύκεντρο) , το οποίο είναι το κέντρο βάρους ενός αντικειμένου ομοιόμορφης πυκνότητας σε σχήμα τριγώνου. Έτσι, το αντικείμενο θα ισορροπεί για κάθε γραμμή που περνά μέσα από το κέντρο βάρους του, συμπεριλαμβανομένης οποιασδήποτε διαμέσου.

Διαίρεση σε ίσα μέρη

Κάθε διάμεσος διαιρεί το εμβαδόν του τριγώνου στο μισό του, εξ ου και το όνομα. (Κάθε άλλη γραμμή που χωρίζει το εμβαδόν του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη, δεν περνά από το κέντρο βάρους του.) [1] Οι τρεις διάμεσοι διαιρούν το τρίγωνο σε έξι μικρότερα τρίγωνα ίσων εμβαδών.

Απόδειξη

Θεωρήστε ένα τρίγωνο ABC Έστω D το μέσο της ${\overline {AB}}$$\overline {AB}$, E το μέσο της ${\overline {BC}}$$\overline {BC}$, F το μέσο της ${\overline {AC}}$${\overline {AC}}$, και O το κέντρο βάρους.

Εξ ορισμού, $AD=DB,AF=FC,BE=EC\,$$AD=DB,AF=FC,BE=EC\,$. Επομένως $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$$[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$ και $[ABE]=[ACE]\,$$[ABE]=[ACE]\,$, όπου $[ABC]$$[ABC]$ αντιπροσωπεύει το εμβαδόν του τριγώνου $\triangle ABC$$\triangle ABC$ , αυτό ισχύει διότι σε κάθε περίπτωση τα δύο τρίγωνα έχουν ίσες τις βάσεις τους, έχουν κοινό ύψος από τις βάσεις τους και το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με το μισό του γινομένου της βάσης του με το αντίστοιχο σε αυτή ύψος.

Άλλες Ιδιότητες

Για κάθε τρίγωνο,

${\tfrac {3}{4}}$${\tfrac {3}{4}}$(περίμετρος τριγώνου) < άθροισμα διαμέσων < ${\tfrac {3}{2}}$${\tfrac {3}{2}}$(περίμετρος τριγώνου).

Για κάθε τρίγωνο με πλευρές $a,b,c$$a,b,c$ και διαμέσους $m_{a},m_{b},m_{c}$$m_{a},m_{b},m_{c}$,

${\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.$${\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.$

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Ύψος

και διάφορα τρίγωνα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διάμεσοι και Διχοτόμοι ενός Τριγώνου
• Διάμεσοι
• Area of Median Triangle
• Διάμεσοι ενός Τριγώνου Με διαδραστικό animation
• Κατασκευάζοντας τη διάμεσο ενός τριγώνου με διαβήτη και ευθεία γραμμή
• Weisstein, Eric W., "Διάμεσος τριγώνου" από το MathWorld.