Νόμος των ημιτόνων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του , , , οι γωνίες του , , και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας .

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα σε κάθε τρίγωνο , ισχύει ότι[1]:244-245

όπου , , είναι τα μήκη των πλευρών του, , , οι γωνίες του, και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με .

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ισότητα λόγων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή .

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι

χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του . Έστω το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο , από τον ορισμό του ημιτόνου , έχουμε ότι

.

 

 

 

 

(1)

Αντίστοιχα, στο , έχουμε ότι

.

 

 

 

 

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

.

Αντίστοιχα για το ύψος , λαμβάνουμε ότι

,

και έτσι έπεται το ζητούμενο.

Ισότητα με την διάμετρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τρίγωνο όπου .

Αρκεί να δείξουμε ότι . Θεωρούμε την κάθετη από το στην και το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του . Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο , έχουμε ότι

.

Αφού η βαίνει στο ίδιο τόξο με την έχουμε ότι . Επίσης αφού , ισχύει ότι . Συνεπώς,

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Αργυράκης, Δ.· Βουργάνας, Π.· Μεντής, Κ.· Τσικοπούλου, Σ.· Χρυσοβέργης, Μ. Γ' Γυμνασίου Μαθηματικά. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». ISBN 978-960-06-2766-4.