Ευθεία Σίμσον

Στην γεωμετρία, η ευθεία Σίμσον ή αλλιώς ευθεία Σίμσον-Γουάλας (αναφέρεται και ως ευθεία Simson ή ευθεία Simson-Wallace) ενός σημείου ${\rm {P}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές ${\rm {P_{A},P_{B},P_{\Gamma }}}$ του ${\rm {P}}$ στις πλευρές του τριγώνου.^[1]^:112-113^[2]^:193-194^[3]^:36-37^[4]

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου ${\rm {P}}$ στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το ${\rm {P}}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο εξωτερικό του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P_{A}}}$ , ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ οι προβολές του στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στόχος είναι να αποδείξουμε ότι τα σημεία ${\rm {P_{A}}}$ , ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ (ή ισοδύναμα ότι η $x={\widehat {\rm {AP_{B}P_{\Gamma }}}}$ είναι ίση με την $y={\widehat {\rm {P_{A}P_{B}\Gamma }}}$ ) είναι συνευθειακά ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ .

Το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\rm {B}}P_{\rm {\Gamma }}A}}$ είναι εγγράψιμο, καθώς ${\hat {\rm {P}}}_{\rm {B}}={\hat {\rm {P}}}_{\rm {\Gamma }}=90^{\circ }$ . Επομένως ισχύει ότι ${\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {PA}}}}={\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {P}}_{\rm {B}}{\rm {A}}}}=\varphi$ , καθώς οι γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Αντίστοιχα, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{B}P_{A}\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο και ${\widehat {\rm {\Gamma PP_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma P_{B}P_{A}}}}=\omega$ .

Επίσης, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\Gamma }BP_{A}}}$ είναι εγγράψιμο και άρα

${\widehat {\rm {APP_{A}}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\varphi$ .

(1)

Τέλος, το ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ ανν το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο, αν και μόνο αν

{\widehat {\rm {APP_{\Gamma }}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\omega

,

δηλαδή ανν $\varphi =\omega$ (χρησιμοποιώντας την (1)).

Ιδιότητες

Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου ${\rm {P}}$ είναι παράλληλη της ευθείας Στάινερ του σημείου (η οποία διέρχεται από συμμετρικά σημεία του ${\rm {P}}$ ως προς τις πλευρές του τριγώνου).
Οι ευθείες Σίμσον που αντιστοιχούν σε αντιδιαμετρικά σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου είναι κάθετες.^[4]^: 255
Η γωνία μεταξύ των ευθειών Σίμσον δύο σημείων ${\rm {P,Q}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με το μισό του τόξου ${\overset {\frown }{\rm {PQ}}}$ .
Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου ${\rm {P}}$ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το ${\rm {P}}$ με το ${\rm {H}}$ .^[4]^: 255
Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου ${\rm {P}}$ είναι κάθετη στην ισογώνιο της ${\rm {AP}}$ ως προς τις πλευρές ${\rm {AB}}$ και ${\rm {A\Gamma }}$ .^[4]^: 255

Ειδικές περιπτώσεις

Οι ευθείες Σίμσον των κορυφών του τριγώνου είναι οι ευθείες των υψών του τριγώνου.
Οι ευθείες Σίμσον των ανδιαμετρικών σημείων των κορυφών του τριγώνου ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο είναι οι πλευρές του τριγώνου.^[4]^: 255

Εφαρμογές

Η ευθεία Σίμσον χρησιμοποιείτε στην απόδειξη αρκετών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένου και του θεωρήματος Σάλμον.

Γενικεύσεις

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P}}$ ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ τρία σημεία στις πλευρές ${\rm {AB,B\Gamma ,\Gamma A}}$ του τριγώνου, για τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {P\Delta ,PE,PZ}}$ σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις πλευρές του τριγώνου (θεωρώντας την ίδια φορά), τότε είναι συνευθειακά.^{[Σημείωση 1]}^[5]^[6]^[7]

Σημείωση: Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση που οι γωνίες είναι ορθές.

Έστω ένας κύκλος ομόκεντρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ένα σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου αυτού. Τότε, το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις προβολές του σημείου στις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.^[8]^[9]

Σημείωση: Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση όπου το εμβαδόν είναι ίσο με το μηδέν.

Για περαιτέρω γενικεύσεις δείτε την βιβλιογραφία.^[10]^[9]

Γεωμετρικοί τόποι

Η περιβάλλουσα (με μπλε) των ευθειών Σίμσον (με κόκκινο) του τριγώνου.

Η περιβάλλουσα των ευθειών Σίμσον των σημείων του περιγεγραμμένου κύκλου δίνει το δελτοειδές Στέινερ, μία καμπύλη που εφάπτεται του κύκλου Όιλερ και έχουν το ίδιο κέντρο.
Για κάθε σημείο ${\rm {P}}$ του επιπέδου, υπάρχουν τρία σημεία των οποίων οι ευθεία Σίμσον διέρχεται από το ${\rm {P}}$ .^[11]^[12]

Ιστορία

Ο Γουάλας δημοσίευσε το θεώρημα στο Mathematical Repository του Leybourn το 1799.^[13] Ο Servois στην δημοσίευσή του στο Annales de Mathématiques pures et appliquées (1814),^[14] αποδίδει το θεώρημα στον Σίμσον. Μετέπειτα μελέτες θεωρούν αυτήν την απόδοση λανθασμένη (αλλά το θεώρημα ήταν ήδη διαδεδομένο με αυτή την ονομασία.^[9]

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Σε κάποια βιβλία, η ευθεία αυτή αναφέρεται ως ευθεία Γουάλας, αλλά αυτό το θεώρημα δεν αναφέρεται στην αρχική δημοσίευση του Γουάλας. Συνήθως αποδίδεται στον Poncelet και τον Στάινερ

Περαιτέρω ανάγνωση

Διαδραστικές εφαρμογές

Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
Ευθεία Σίμσον στο Cut The Knot
Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
Ευθεία Simson, Ευθείες Simson δύο αντιδιαμετρικών πόλων - Κύκλος Euler, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler, Παράλληλες τής Ευθείας Simson στό Διαδραστική Γεωμετρία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ελληνικά άρθρα

Ν. Α. Κισκύρας; Χ. Α. Κισκύρας; Δ. Τσιμπουράκης (1987). «Τετράπλευρο και ο κύκλος». Ευκλείδης Β΄ (1): 33-37. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2816.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Quadling, Douglas (2012). «A curious misattribution: the early history of 'Simson's line'». The Mathematical Gazette 96 (537): 420-427. https://www.jstor.org/stable/24496864.
Clawson, J. W. (1919). «A Theorem in the Geometry of the Triangle». The American Mathematical Monthly 26 (2): 59. doi:10.2307/2973140. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1919-02_26_2/page/59.
Barnett, J. K. R. (2001). «Simson lines and deltoids». The Mathematical Gazette 85 (504): 446–457. doi:10.2307/3621750. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-11_85_504/page/446.
Smith, Geoff (2015). «99.20 A projective Simson line». The Mathematical Gazette 99 (545): 339-341. https://www.jstor.org/stable/24496966.

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 1: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.
↑ Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139.
1 2 3 4 5 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελίδες 254–255.
↑ Poncelet, J. V. (1865). Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Gauthier-Villars.
↑ Chasles, Michel (1852). Traité de géométrie supérieure. Paris: Bachelier.
↑ Steiner, J. (1829). «Géométrie pure. Développement d'une série de théorèmes relatifs aux sections coniques». Annales de Gergonne 19: 37-64. http://eudml.org/doc/80257.
↑ «Autre démonstration du même théorème». Annales de Gergonne XIV 28: 286–293. 1824.
1 2 3 Mackay, J. S. (1890). «The Wallace line and the Wallace point». Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society: 83 - 91. doi:https://doi.org/10.1017/S001309150003087X.
↑ G.-M., F. (1991). Exercices de Géométrie (6η έκδοση). Éditions Jacques Gabay. σελίδες 328–334.
↑ Capitan, Francisco Javier Garcia (2015). «Another construction of the Simson lines through a given point». Forum Geometricorum (15): 173-176. https://web.archive.org/web/20230327202706/https://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201516.pdf.
↑ Ehrmann, J.-P. (2006). «Some geometric constructions». Forum Geometricorum (6): 327–334. https://web.archive.org/web/20220130045132/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200638.pdf.
↑ Wallace, Willieam (1799). 2. London: W. Glendinning, σελ. 111. https://archive.org/details/mathematicalrep01leybgoog/page/n126/mode/2up.
↑ Servois, M. (1814). «Géométrie pratique. Problème. Prolonger une droite accessible au-delà d'un obstacle qui borne la vue, en n'employant que l'équerre d'arpenteur, et sans faire aucun chaînage ? Solution». Annales de Mathématiques pures et appliquées 4: 250-253. https://www.numdam.org/item/AMPA_1813-1814__4__250_1.pdf.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[5] Σε κάποια βιβλία, η ευθεία αυτή αναφέρεται ως ευθεία Γουάλας, αλλά αυτό το θεώρημα δεν αναφέρεται στην αρχική δημοσίευση του Γουάλας. Συνήθως αποδίδεται στον Poncelet και τον Στάινερ

[Tav-1] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[2] Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 1: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.

[3] Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139.

[S73-4] 1 2 3 4 5 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελίδες 254–255.

[6] Poncelet, J. V. (1865). Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Gauthier-Villars.

[7] Chasles, Michel (1852). Traité de géométrie supérieure. Paris: Bachelier.

[8] Steiner, J. (1829). «Géométrie pure. Développement d'une série de théorèmes relatifs aux sections coniques». Annales de Gergonne 19: 37-64. http://eudml.org/doc/80257.

[9] «Autre démonstration du même théorème». Annales de Gergonne XIV 28: 286–293. 1824.

[M90-10] 1 2 3 Mackay, J. S. (1890). «The Wallace line and the Wallace point». Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society: 83 - 91. doi:https://doi.org/10.1017/S001309150003087X.

[11] G.-M., F. (1991). Exercices de Géométrie (6η έκδοση). Éditions Jacques Gabay. σελίδες 328–334.

[12] Capitan, Francisco Javier Garcia (2015). «Another construction of the Simson lines through a given point». Forum Geometricorum (15): 173-176. https://web.archive.org/web/20230327202706/https://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201516.pdf.

[13] Ehrmann, J.-P. (2006). «Some geometric constructions». Forum Geometricorum (6): 327–334. https://web.archive.org/web/20220130045132/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200638.pdf.

[14] Wallace, Willieam (1799). 2. London: W. Glendinning, σελ. 111. https://archive.org/details/mathematicalrep01leybgoog/page/n126/mode/2up.

[15] Servois, M. (1814). «Géométrie pratique. Problème. Prolonger une droite accessible au-delà d'un obstacle qui borne la vue, en n'employant que l'équerre d'arpenteur, et sans faire aucun chaînage ? Solution». Annales de Mathématiques pures et appliquées 4: 250-253. https://www.numdam.org/item/AMPA_1813-1814__4__250_1.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[Σημείωση 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]