Θεώρημα Νάγκελ

Το θεώρημα Νάγκελ για το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Νάγκελ (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα Nagel) λέει ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ όπου $\mathrm {AH_{A}}$, $\mathrm {BH_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ τα ύψη του τριγώνου, και $\mathrm {O}$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι

$\mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma }$, $\quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad$ και $\quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Κρίστιαν Χάινριχ φον Νάγκελ.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε $\mathrm {BH_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ τα δύο ύψη του τριγώνου. Θα αποδείξουμε ότι $\mathrm {OA} \perp \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }}$.

Θεωρούμε την εφαπτομένη $x\mathrm {A}$ στον κύκλο $(\mathrm {O} ,\mathrm {A} )$ και επομένως, $\mathrm {OA} \perp x\mathrm {A}$ και ${\widehat {x\mathrm {AB} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$. Επίσης $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }B\Gamma }$ είναι εγγράψιμο (καθώς ${\widehat {\rm {BH_{B}\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Gamma H_{\Gamma }B}}}=90^{\circ }$). Συνεπώς, η ${\hat {\rm {\Gamma }}}$ είναι παραπληρωματική της ${\widehat {\rm {BH_{\Gamma }H_{B}}}}$ και έτσι ${\widehat {\rm {H_{B}H_{\Gamma }A}}}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$.

Επομένως, η $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }}$ είναι παράλληλη της $x\mathrm {A}$ και έτσι $\mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA}$.

$\square$

Δείτε επίσης

• Ύψος τριγώνου
• Περιγεγραμμένος κύκλος

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Nagel στο Φωτόδεντρο.
• Θεώρημα Nagel στο Cut The Knot.