Πολύγωνο

Για τη συνοικία, δείτε: Πολύγωνο (Αθήνα).

Στην γεωμετρία, πολύγωνο είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη γραμμή. Τα ευθύγραμμα τμήματα της τεθλασμένης γραμμής λέγονται πλευρές του πολυγώνου και τα άκρα τους κορυφές του πολυγώνου. Ένα πολύγωνο με $\nu$ πλευρές (και $nu$ κορυφές) λέγεται και $\nu$-γωνο (προφέρεται νι-γωνο) ή $\nu$-πλευρο.

Ειδικές περιπτώσεις είναι το τρίγωνο ($\nu =3$), το τετράγωνο ($\nu =4$), το πεντάγωνο ($\nu =5$), το εξάγωνο ($\nu =6$), το επτάγωνο ($\nu =7$), κ.ο.κ.

Ορισμοί

Το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται πολυγωνικό χωρίο.

Οι εσωτερικές (πράσινες) και οι εξωτερικές (μπλε) γωνίες ενός τριγώνου και ενός τετραπλεύρου.

Εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου λέγεται κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου. Εξωτερική γωνία λέγεται κάθε εφεξής και παραπληρωματική μίας εσωτερικής του γωνίας. Ένα $\nu$-γωνο έχει $\nu$ εσωτερικές γωνίες και $2\nu$ εξωτερικές γωνίες.

Μία διαγώνιος ${\rm {E\Gamma }}$ ενός πολυγώνου.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος του πολυγώνου.

Είδη πολυγώνου

• Ένα πολύγωνο θα λέγεται κυρτό αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι κυρτό σύνολο και μη κυρτό ή κοίλο στην αντίθετη περίπτωση.

Κυρτό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$.

Κοίλο πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$,

• Ένα πολύγωνο το οποίο εγγράφεται σε κύκλο λέγεται εγγράψιμο.

Ένα (εγγεγραμμένο) τρίγωνο, ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο και ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο.

• Ένα πολύγωνο στο οποίο εγγράφεται κύκλος λέγεται περιγράψιμο.

Ένα (περιγεγραμμένο) τρίγωνο, ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο και ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο.

• Ένα πολύγωνο του οποίου όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους λέγεται ισογώνιο.

Δύο ισογώνια πολύγωνα.

• Ένα πολύγωνο του οποίου όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους λέγεται ισόπλευρο.

Δύο ισόπλευρα πεντάγωνα.

• Ένα πολύγωνο που είναι ισόπλευρο και ισογώνιο λέγεται κανονικό.

Ισόπλευρο τρίγωνο

Τετράγωνο

Κανονικό πεντάγωνο

Κανονικό εξάγωνο

Ιδιότητες

• Το πλήθος των διαγωνίων ενός $\nu$-γώνου ισούται με ${\textstyle {\frac {\nu (\nu -3)}{2}}}$.

Απόδειξη  

Οι διαγώνιοι ενός $\nu$-γώνου.

Για να μετρήσουμε τις διαγωνίους του $\nu$-γώνου θεωρούμε μία-μία τις κορυφές του και μετράμε τα νέα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν για κάθε κορυφή. Από το τελικό άθροισμα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων θα αφαιρέσουμε τα $\nu$ σε πλήθος τμήματα που είναι οι πλευρές του πολυγώνου.

Στην πρώτη κορυφή δεν έχουμε κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Στη δεύτερη κορυφή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τη δεύτερη με την πρώτη κορυφή. Η τρίτη κορυφή ενώνεται με τις προηγούμενες δύο και προκύπτουν δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην προσθήκη της τελευταίας κορυφής, της $\nu$-οστής, θα προκύψουν $\nu -1$ νέα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτή θα ενωθεί με όλες τις $\nu -1$ κορυφές που προηγήθηκαν.

Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το συνολικό πλήθος $S$ των ευθυγράμμων τμημάτων. Γράφουμε με δύο τρόπους το άθροισμα της κάτω γραμμής του πίνακα:

$S=1+2+\cdots +(\nu -2)+(\nu -1)$,

$S=(\nu -1)+(\nu -2)+\cdots +2+1$,

και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε

$S={\frac {\nu (\nu -1)}{2}}$.

Αφαιρώντας τις $\nu$ πλευρές τελικά λαμβάνουμε

$S-\nu ={\frac {\nu ^{2}-\nu }{2}}-\nu ={\frac {\nu (\nu -3)}{2}}$.

• Το άθροισμα των γωνιών ενός απλού $\nu$-γώνου είναι $(\nu -2)\cdot 180^{\circ }$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε πολύγωνο με $\nu$ κορυφές. Αφού το πολύγωνο είναι απλό, μπορούμε να το χωρίσουμε σε $\nu -2$ μη-επικαλυπτόμενα τρίγωνα. Το συνολικό άθροισμα γωνιών αυτών των τριγώνων είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του $\nu$-γώνου, ίσο με $(\nu -2)\cdot 180^{\circ }$.

• Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με $360^{\circ }$.

Απόδειξη  

Έστω ότι έχουμε ένα $\nu$-γωνο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{\nu }$. Για κάθε κορυφή ${\rm {P}}_{i}$ παίρνουμε το άθροισμα της εσωτερικής $\varepsilon \sigma _{i}$ και εξωτερικής $\varepsilon \xi _{i}$ της γωνίας, δηλαδή

${\begin{aligned}\varepsilon \sigma _{1}+\varepsilon \xi _{1}&=180^{\circ },\\\varepsilon \sigma _{2}+\varepsilon \xi _{2}&=180^{\circ },\\\vdots \qquad &\\\varepsilon \sigma _{\nu }+\varepsilon \xi _{\nu }&=180^{\circ }.\end{aligned}}$

Αθροίζοντας κατά μέλη, λαμβάνουμε

$\sum _{i=1}^{\nu }(\varepsilon \sigma _{i}+\epsilon \xi _{i})=\nu \cdot 180^{\circ }$.

Από την προηγούμενη ιδιότητα, καταλήγουμε στο ζητούμενο

$\sum _{i=1}^{\nu }\varepsilon \xi _{i}=\nu \cdot 180^{\circ }-(\nu -2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$.

Μετρικές σχέσεις

Το γινόμενο των μπλε ευθυγράμμων τμημάτων ισούται με αυτό των κόκκινων.

• Έστω ένα πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$ με $n$ πλευρές. Θεωρούμε τα σημεία τομής ${\rm {Q}}_{1},\ldots ,{\rm {Q}}_{n}$ των προεκτάσεων των πλευρών του ${\rm {P_{n}P_{1}}}$ και ${\rm {P_{2}P_{3}}}$, ${\rm {P_{1}P_{2}}}$ και ${\rm {P_{3}P_{4}}}$, $\ldots$. Τότε, ισχύει ότι

${\rm {P_{1}Q_{1}\cdot P_{2}Q_{2}}}\cdot \ldots \cdot {\rm {P}}_{n}{\rm {Q}}_{n}={\rm {P_{1}Q}}_{n}\cdot {\rm {P}}_{2}{\rm {Q}}_{1}\cdot \ldots \cdot {\rm {P}}_{n}{\rm {Q}}_{n}$.

Απόδειξη  

Το γινόμενο των μπλε ευθυγράμμων τμημάτων ισούται με αυτό των κόκκινων.

Από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm {P_{1}Q_{1}P_{2}}}$, ισχύει ότι

${\frac {\rm {\color {blue}{P_{1}Q_{1}}}}{\sin \varphi _{2}}}={\frac {\rm {\color {red}{P_{2}Q_{1}}}}{\sin \varphi _{1}}}$.

Αντίστοιχα,

${\frac {\rm {\color {blue}{P_{2}Q_{2}}}}{\sin \varphi _{3}}}={\frac {\rm {\color {red}{P_{3}Q_{2}}}}{\sin \varphi _{2}}}$

$\qquad \vdots$

${\frac {\color {blue}{{\rm {P}}_{n}{\rm {Q}}_{n}}}{\sin \varphi _{1}}}={\frac {\color {red}{{\rm {P}}_{n}{\rm {Q}}_{n-1}}}{\sin \varphi _{n}}}$.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη αυτές τις ισότητες λαμβάνουμε ότι

${\frac {\color {blue}{{\rm {P}}_{1}{\rm {Q}}_{1}\cdot {\rm {P}}_{2}{\rm {Q}}_{2}\ldots \cdot {\rm {P}}_{1}{\rm {Q}}_{1}}}{\sin \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \sin \varphi _{n}}}={\frac {\color {red}{{\rm {P_{1}Q}}_{n}\cdot {\rm {P}}_{2}{\rm {Q}}_{1}\cdot \ldots \cdot {\rm {P}}_{n}{\rm {Q}}_{n-1}}}{\sin \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \sin \varphi _{n}}}$.

Απαλείφοντας τους παρονομαστές, λαμβάνουμε την ζητούμενη ισότητα.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός απλού πολυγώνου ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$, όπου οι συντεταγμένες της κορυφής ${\rm {P}}_{i}=(x_{i},y_{i})$ δίνεται από τον εξής τύπο

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+\ldots +{\begin{vmatrix}x_{n-1}&x_{n}\\y_{n-1}&y_{n}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{n-1}&x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&\ldots &y_{n-1}&y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}},\end{aligned}}$

ο οποίος είναι ισοδύναμος με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}\right).\end{aligned}}$

Σε ειδικές περιπτώσεις πολυγώνων, υπάρχουν πιο ειδικοί τύποι για το εμβαδόν, όπως στα τρίγωνα, στα τετράπλευρα, στα κανονικά πολύγωνα.

Περίμετρος

Η περίμετρος ενός πολυγώνου ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$, όπου οι συντεταγμένες της κορυφής ${\rm {P}}_{i}=(x_{i},y_{i})$ δίνεται από το άθροισμα των μηκών των πλευρών του, δηλαδή

${\begin{aligned}\Pi &={\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}+{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3}+\ldots +{\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n}+{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\rm {P}}_{i}{\rm {P}}_{i+1}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{i+1})^{2}+(y_{i}-y_{i+1})^{2}}},\end{aligned}}$

όπου ορίζουμε ${\rm {P}}_{n+1}={\rm {P}}_{1}$ για χάριν ευκολίας.

Σε ειδικές περιπτώσεις πολυγώνων, υπάρχουν πιο ειδικοί τύποι για την περίμετρο, όπως στα κανονικά πολύγωνα.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τετράπλευρο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του πολύγωνο στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Polygons στο Wikimedia Commons