Τριγωνική ανισότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδός η ευθεία». Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Αλγεβρικά, η τριγωνική ανισότητα εκφράζεται ως το καρτεσιανό γινόμενο των συντεταγμένων των κορυφών ενός τριγώνου στο επίπεδο.

Στη μαθηματική ανάλυση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται

||x|-|y||\leq |x+y|\leq |x|+|y|

όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.

Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:

d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):

||x+y||\leq ||x||+||y||

για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τριγωνική ανισότητα
  • Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α και παίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ < ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.

Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.

Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμε τελικά ότι ισχύει

|β - γ| < α < β + γ
  • Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονται τρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.
Πολυγωνική ανισότητα

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και ΑΣ1Σ2Σ3…Σν-1ΣνΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμε όλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικές ανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε διαδοχικά:

\mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\mathrm{B}
\mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\Sigma_2+\Sigma_2\mathrm{B}
\vdots
\mathrm{AB} < \mathrm{A}\Sigma_1+\Sigma_1\Sigma_2+\cdots+\Sigma_{\nu-1}\Sigma_\nu+\Sigma\mathrm{B}

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]