Περιγεγραμμένος κύκλος

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός οξυγώνιου, ενός ορθογωνίου και ενός αμβλυγώνιου τριγώνου.

Απόδειξη ύπαρξης

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

(Απόδειξη) Έστω $\mathrm {O'}$ η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι

$\mathrm {AO'} =\mathrm {BO'}$ και $\mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'}$.

Άρα το $\mathrm {O'}$ ισαπέχει και από το σημείο $\mathrm {\Gamma }$. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του $\mathrm {A\Gamma }$. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των $\mathrm {AB}$, $\mathrm {B\Gamma }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ συντρέχουν στο $\mathrm {O'}$. Αφού το $\mathrm {O'}$ ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου, ο κύκλος $(\mathrm {O} ,\mathrm {OA} )$ διέρχεται από ολες τις κορυφές. $\square$

Μετρικές σχέσεις

• (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα $R$ περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι

${\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=2R.$

• Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν $\mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\beta \gamma \sin \mathrm {A}$, έχουμε ότι

$R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4\mathrm {E} }}$,

και από τον τύπο του Ήρωνα

$R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}$.

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

$\alpha ^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right):\;\beta ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right):\;\gamma ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right).$

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

$\cos {\rm {A}}:\;\cos {\rm {B}}:\;\cos {\rm {\Gamma }}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε

$\rho \cdot R={\frac {\alpha \beta \gamma }{2\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}$.

Ανισοτικές σχέσεις

• Αν $\mathrm {B\Gamma } >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {AB}$, τότε $\mathrm {OM_{A}} <\mathrm {OM_{B}} <\mathrm {OM_{\Gamma }}$.
• Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου.
• Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου.
• Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το περίκεντρο είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Σχετικά θεωρήματα

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO}$.
• (Θεώρημα του Όιλερ) Αν $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} }),(\mathrm {I_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} }),(\mathrm {I_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho ,\quad$ $\mathrm {OI_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad$ $\mathrm {OI_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad$ και $\quad \mathrm {OI_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.$

• Αν $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο και $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, τότε

$\mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αν $\rho$ η ακτίνα του εγεγγραμμένου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $\mathrm {OM_{\mathrm {A} }}$, $\mathrm {OM_{\mathrm {B} }}$ και $\mathrm {OM_{\mathrm {\Gamma } }}$ οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OM_{A}} +\mathrm {OM_{B}} +\mathrm {OM_{\Gamma }} =R+\rho$.

• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου και $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, τότε

$\mathrm {H_{A}H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } ,\quad$ $\mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} ,\quad$ και $\quad \mathrm {H_{\Gamma }H_{A}} \perp \mathrm {OB}$.

• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του $\mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }}$ στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$ και $\mathrm {\Gamma }$ και ακτίνα το μέγιστο από τα $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {A\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {B}$.
3. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm {A}$ και το $\mathrm {\Gamma }$.
4. Χαράζουμε την ευθεία που ενώνει τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$, και τα $\mathrm {T} _{3}$ και $\mathrm {T} _{4}$.
5. Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο.

Δείτε επίσης

• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου