Μετάβαση στο περιεχόμενο

Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Παράκεντρα τριγώνου)
Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου .

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου.[1]:80-89[2]:143-145[3]:35-36[4]:12-13

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους , και που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της και των εξωτερικών διχοτόμων των και , και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου.

Εγγεγραμμένος κύκλος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
  • Το έγκεντρο είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
  • Η γωνία των διχοτόμων των και είναι ίση με .[1]: 85 
  • Αν οι προβολές του στις πλευρές του τριγώνου, τότε
και .
  • Το τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
  • (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
  • Οι ευθείες είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του .
  • Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο [5]:126
,
όπου είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
.
,
και από
.
.
  • (Θεώρημα Καρνό) Αν είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε
.
  • Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
  • Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
  • Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους , και . Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας και της και της εσωτερικής διχοτόμου της . Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος με τις πλευρές συμβολίζονται με αντίστοιχα.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου .


  • Τα παράκεντρα είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
  • Τα σημεία είναι συνευθειακά, καθώς και τα και .
  • Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των και είναι ίση με .[1]: 85 
  • Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της και της εξωτερικής διχοτόμου της είναι .[1]: 85 
  • (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
  • Ισχύει ότι , και , όπου η ημιπερίμετρος.[1]: 86-87 
.
και .
  • Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τους τύπους:[3]: 45 
και
.
  • Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο[6]: 139 [5]: 127 
και .
  • Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις[7]:264[3]: 46-47 [5]: 127 
, και ,
και επίσης
, και .
  • (Σημείο Νάγκελ) Αν τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα με τις πλευρές του τριγώνου, τότε τα συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
  • Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου είναι ύψη του τριγώνου .
  • Αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι .[1]: 87 
  • Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι , και αντίστοιχα.
  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357. 
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα Ο.Ε. 
  6. 6,0 6,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  7. 7,0 7,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.