Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
.
Στη γεωμετρία , σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος
(
I
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )}
είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου .[ 1] :80-89 [ 2] :143-145 [ 3] :35-36 [ 4] :12-13
Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
,
(
J
B
,
ρ
B
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })}
και
(
J
Γ
,
ρ
Γ
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })}
που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της
A
^
{\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}
και των εξωτερικών διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}
, και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου .
Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι
A
Δ
A
,
B
Δ
B
,
Γ
Δ
Γ
{\displaystyle {\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}}
ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.
Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Το έγκεντρο
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
Η γωνία των διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι ίση με
90
∘
+
A
^
2
{\displaystyle 90^{\circ }+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Αν
I
A
,
I
B
,
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}}
οι προβολές του
I
{\displaystyle {\rm {I}}}
στις πλευρές του τριγώνου, τότε
B
I
A
=
B
I
Γ
=
τ
−
β
,
A
I
B
=
A
I
Γ
=
τ
−
α
,
{\displaystyle {\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}}
και
Γ
I
A
=
Γ
I
B
=
τ
−
γ
{\displaystyle \quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}}
.
Το τρίγωνο
I
A
I
B
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}}
ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne .
(Σημείο Gergonne ) Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
I
A
,
B
I
B
,
Γ
I
Γ
{\displaystyle {\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}}
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[ 3] : 36
Οι ευθείες
I
A
,
I
B
,
I
Γ
{\displaystyle {\rm {IA,IB,I\Gamma }}}
είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του
I
A
I
B
I
Γ
{\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}}
.
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τον τύπο [ 5] :126
E
=
τ
⋅
ρ
{\displaystyle \mathrm {E} =\tau \cdot \rho }
,
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
ρ
=
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
τ
{\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}}
.
Απόδειξη
Σχήμα απόδειξης
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τύπο
E
A
B
Γ
=
E
A
B
I
+
E
B
Γ
I
+
E
Γ
A
I
{\displaystyle {\rm {E_{AB\Gamma }=E_{ABI}+E_{B\Gamma I}+E_{\Gamma AI}}}}
.
Από τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι
E
A
B
I
=
1
2
⋅
γ
⋅
ρ
,
E
B
Γ
I
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
,
{\displaystyle {\rm {E_{ABI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ,\quad {\rm {E_{B\Gamma I}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho ,\quad }
και
E
Γ
A
I
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
{\displaystyle \quad {\rm {E_{\Gamma AI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho }
.
Επομένως,
E
A
B
Γ
=
1
2
⋅
α
⋅
ρ
+
1
2
⋅
β
⋅
ρ
+
1
2
⋅
γ
⋅
ρ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
⋅
ρ
=
τ
⋅
ρ
{\displaystyle {\rm {E_{AB\Gamma }={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )\cdot \rho =\tau \cdot \rho }}}
.
Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.
ρ
=
α
⋅
sin
B
^
2
⋅
sin
Γ
^
2
cos
A
^
2
=
β
⋅
sin
Γ
^
2
⋅
sin
A
^
2
cos
B
^
2
=
γ
⋅
sin
A
^
2
⋅
sin
B
^
2
cos
Γ
^
2
{\displaystyle \rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}}}
,
και από
ρ
=
(
τ
−
α
)
⋅
tan
A
^
2
=
(
τ
−
β
)
⋅
tan
B
^
2
=
(
τ
−
γ
)
⋅
tan
Γ
^
2
{\displaystyle \rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}
.
O
I
2
=
R
2
−
2
R
ρ
{\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }
.
(Θεώρημα Καρνό ) Αν
O
M
A
,
O
M
B
,
O
M
Γ
{\displaystyle {\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}}
είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
και
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε
O
M
A
+
O
M
B
+
O
M
Γ
=
R
+
ρ
{\displaystyle {\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho }
.
Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
1
:
1
:
1
{\displaystyle 1:1:1}
.
Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
α
:
β
:
γ
{\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }
.
Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι
(
α
⋅
x
A
+
β
⋅
x
B
+
γ
⋅
x
Γ
α
+
β
+
γ
,
α
⋅
y
A
+
β
⋅
y
B
+
γ
⋅
y
Γ
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)}
.
Κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
,
(
J
B
,
ρ
B
)
{\displaystyle ({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})}
και
(
J
Γ
,
ρ
Γ
)
{\displaystyle ({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})}
. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και της
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
και της εσωτερικής διχοτόμου της
A
^
{\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}
. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος
(
J
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})}
με τις πλευρές
B
Γ
,
A
B
,
A
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}}
συμβολίζονται με
I
A
′
,
I
A
″
,
I
A
‴
{\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}}
αντίστοιχα.
Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
.
Τα παράκεντρα
J
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}}
είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
Τα σημεία
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}}
είναι συνευθειακά, καθώς και τα
J
A
,
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}}
και
J
A
,
J
B
,
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}}
.
Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι ίση με
90
∘
−
A
^
2
{\displaystyle 90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της
B
^
{\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}
και της εξωτερικής διχοτόμου της
Γ
^
{\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}
είναι
A
^
2
{\displaystyle {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.[ 1] : 85
Απόδειξη
Από το τρίγωνο
B
J
A
J
B
{\displaystyle {\rm {BJ_{A}J_{B}}}}
έχουμε ότι
B
J
A
J
B
^
=
180
∘
−
(
B
^
2
+
180
∘
−
B
^
2
)
−
(
90
∘
−
A
^
2
)
=
A
^
2
{\displaystyle {\widehat {\rm {BJ_{A}J_{B}}}}=180^{\circ }-({\tfrac {\hat {\rm {B}}}{2}}+{\tfrac {180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}}{2}})-(90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}})={\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
.
(Σημείο Gergonne ) Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
I
A
′
,
B
I
B
′
,
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}}
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[ 3] : 36
Ισχύει ότι
A
I
B
′
=
A
I
B
″
=
B
I
A
′
=
B
I
A
″
=
τ
−
γ
{\displaystyle {\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}}
,
A
I
Γ
′
=
A
I
Γ
″
=
Γ
I
A
′
=
Γ
I
A
″
=
τ
−
β
{\displaystyle {\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}}
και
B
I
Γ
′
=
B
I
Γ
″
=
Γ
I
B
′
=
Γ
I
B
″
=
τ
−
γ
{\displaystyle {\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}}
, όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
η ημιπερίμετρος .[ 1] : 86-87
Αν
A
′
{\displaystyle {\rm {A'}}}
το σημείο τομής της προέκτασης της
A
I
{\displaystyle {\rm {AI}}}
με τον περιγεγραμμένο κύκλο , τότε[ 1] : 85
A
′
B
=
A
′
I
=
A
′
Γ
=
A
′
I
A
{\displaystyle {\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}}
.
O
J
A
2
=
R
2
+
2
R
ρ
A
,
O
J
B
2
=
R
2
+
2
R
ρ
B
{\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad }
και
O
J
Γ
2
=
R
2
+
2
R
ρ
Γ
{\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }}
.
Το εμβαδόν του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
δίνεται από τους τύπους:[ 3] : 45
E
=
(
τ
−
α
)
⋅
ρ
A
=
(
τ
−
β
)
⋅
ρ
B
=
(
τ
−
γ
)
⋅
ρ
Γ
,
{\displaystyle {\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}}
και
E
=
ρ
⋅
ρ
A
⋅
ρ
B
⋅
ρ
Γ
{\displaystyle {\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}}
.
ρ
A
=
E
τ
−
α
=
τ
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
τ
−
α
,
{\displaystyle \rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},}
ρ
B
=
E
τ
−
β
=
τ
⋅
(
τ
−
γ
)
⋅
(
τ
−
α
)
τ
−
β
{\displaystyle \quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad }
και
ρ
Γ
=
E
τ
−
γ
=
τ
⋅
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
τ
−
γ
{\displaystyle \rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}}
.
Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις[ 7] :264 [ 3] : 46-47 [ 5] : 127
ρ
A
=
α
⋅
cos
B
^
2
⋅
cos
Γ
^
2
cos
A
^
2
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}}}
,
ρ
B
=
β
⋅
cos
Γ
^
2
⋅
cos
A
^
2
cos
B
^
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}}\quad }
και
ρ
Γ
=
γ
⋅
cos
A
^
2
⋅
cos
B
^
2
cos
Γ
^
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}}}
,
και επίσης
ρ
A
=
τ
⋅
tan
A
^
2
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}
,
ρ
B
=
τ
⋅
tan
B
^
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }
και
ρ
Γ
=
τ
⋅
tan
Γ
^
2
{\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}
.
(Σημείο Νάγκελ ) Αν
I
A
′
,
I
B
′
,
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}}
τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα
J
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}}
με τις πλευρές
A
Γ
,
B
Γ
,
A
B
{\displaystyle {\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}}
του τριγώνου, τότε τα
A
I
A
′
,
B
I
B
′
,
Γ
I
Γ
′
{\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}}
συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
είναι ύψη του τριγώνου
J
A
J
B
J
Γ
{\displaystyle {\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}}
.
Αν
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι
ρ
A
+
ρ
B
+
ρ
Γ
=
ρ
+
4
R
{\displaystyle \rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R}
.[ 1] : 87
Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι
−
1
:
1
:
1
{\displaystyle -1:1:1}
,
1
:
−
1
:
1
{\displaystyle 1:-1:1}
και
1
:
1
:
−
1
{\displaystyle 1:1:-1}
αντίστοιχα.
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357 .
↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας . Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα Ο.Ε.
↑ 6,0 6,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ 7,0 7,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
Βασικές έννοιες Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές σχέσεις Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα