Ύψος τριγώνου

Το ύψος $\upsilon _{\rm {A}}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$.

Στην γεωμετρία, ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της).

Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ συνήθως συμβολίζονται ως $\upsilon _{\rm {A}},\upsilon _{\rm {B}},\upsilon _{\rm {\Gamma }}$ ή $\upsilon _{\alpha },\upsilon _{\beta },\upsilon _{\gamma }$ αντίστοιχα.

Ορθόκεντρο τριγώνου

Θεώρημα —  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το ορθόκεντρο ${\rm {H}}$ για ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Απόδειξη (με αντισυμπληρωματικό τρίγωνο)  

Τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι οι μεσοκάθετοι του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Θα κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ${\rm {K\Lambda M}}$ με τέτοιο τρόπο ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών του να περιέχουν τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$. Για τις μεσοκαθέτους γνωρίζουμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο, και έτσι θα καταλήξουμε ότι τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Θεωρούμε την ευθεία $\epsilon _{\alpha }$ που διέρχεται από το ${\rm {A}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {B\Gamma }}$, την $\epsilon _{\beta }$ που διέρχεται από το ${\rm {B}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {A\Gamma }}$ και την $\epsilon _{\gamma }$ που διέρχεται από το ${\rm {\Gamma }}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {AB}}$. Έστω ${\rm {K\Lambda M}}$ το τρίγωνο που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες.

Το τετράπλευρο ${\rm {KAB\Gamma }}$ είναι παραλληλόγραμμο καθώς οι πλευρές του είναι παράλληλες, επομένως

${\rm {KA}}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Αντίστοιχα, από το παραλληλόγραμμο ${\rm {A\Lambda \Gamma B}}$ έχουμε ότι

${\rm {A\Lambda }}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Συνεπώς το ${\rm {A}}$ είναι το μέσο του ${\rm {K\Lambda }}$ και ${\rm {K\Lambda \perp AH_{A}}}$, καθώς ${\rm {B\Gamma \perp AH_{A}}}$ και ${\rm {K\Lambda }}\parallel {\rm {B\Gamma }}$. Άρα, το ύψος ${\rm {AH_{\rm {A}}}}$ ανήκει στην μεσοκάθετο του ${\rm {K\Lambda }}$.

Αντίστοιχα, τα ${\rm {BH_{\rm {B}}}}$ και ${\rm {\Gamma H_{\rm {\Gamma }}}}$ ανήκουν στην μεσοκάθετο του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {AB}}$. Συνεπώς, καταλήγουμε ότι τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το περίκεντρο του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Ιδιότητες

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO}$.
• (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία $\mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }}$, τα μέσα των $\mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H}$ και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm {O}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε

$\mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma }$, $\quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad$ και $\quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB}$.

• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το ορθόκεντρο είναι το σημείο $\mathrm {P}$ που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:

$f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }}$.

• Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Μετρικές σχέσεις

• Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι

$\upsilon _{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:

$\upsilon _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}}}$, $\quad \upsilon _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}}}$ και $\quad \upsilon _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}$.

• Έστω $\mathrm {E}$ το εμβαδό του τριγώνου και ${\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}$,

και αν $\mathrm {A} <90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$

• Αν $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο, $\mathrm {G}$ το βαρύκεντρο, $(\mathrm {O} ,R)$ ο περιγεγραμμένος, $(\mathrm {I} ,\rho )$ o εγγεγραμμένος και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε

$\mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos {\hat {\rm {A}}}\cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}$,

$\mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos {\hat {\rm {A}}}\cos {\hat {\rm {B}}}\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}$.

• Για τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$, ισχύει ότι
  • $\mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }}$,
  • ${\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1$.
  • $(\upsilon _{\mathrm {A} }+\upsilon _{\mathrm {B} }+\upsilon _{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)$.
• Αν $\mu _{\mathrm {A} }$ η διάμεσος τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\beta >\gamma$, τότε

$\upsilon _{\mathrm {A} }\cdot \mu _{\mathrm {A} }={\frac {\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha }}$.

• Αν $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και $\rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε

${\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}-{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}$,

${\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}$,

${\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}=4\cdot \left({\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{{\upsilon }_{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}\right)$.

Ανισοτικές σχέσεις

Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\alpha >\beta >\gamma$ έχουμε ότι:

$\upsilon _{\mathrm {A} }<\upsilon _{\mathrm {B} }<\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }.$

Το ορθικό τρίγωνο $\mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }}$ του $\mathrm {AB\Gamma }$.

Ορθικό τρίγωνο

Το τρίγωνο $\mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }}$ λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος
• Διχοτόμος γωνίας
• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Ορθικό τρίγωνο
• Ορθοκεντρική τετράδα