Το ύψος
u
A
{\displaystyle u_{\rm {A}}}
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
Στην γεωμετρία , το ύψος ενός τριγώνου ως προς μία κορυφή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει αυτή την κορυφή προς την απέναντι πλευρά και είναι κάθετο σε αυτή. Κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
ορθόκεντρο .[1] [2] [3] [4]
u
A
,
u
B
,
u
Γ
{\displaystyle u_{\rm {A}},u_{\rm {B}},u_{\rm {\Gamma }}}
u
α
,
u
β
,
u
γ
{\displaystyle u_{\alpha },u_{\beta },u_{\gamma }}
Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
Σχήμα απόδειξης για το ορθόκεντρο. Θεωρούμε
H
′
{\displaystyle \mathrm {H} '}
B
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{B}} }
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
Το τετράπλευρο
B
Γ
H
B
H
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma H_{B}H_{\Gamma }}}}
εγγράψιμο , αφού η
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
ορθές ) γωνίες την
∠
B
H
Γ
Γ
{\displaystyle \angle \mathrm {BH_{\Gamma }\Gamma } }
∠
Γ
H
B
B
{\displaystyle \angle \mathrm {\Gamma H_{B}B} }
∠
H
Γ
H
B
B
=
∠
H
Γ
Γ
B
{\displaystyle {\rm {\angle H_{\Gamma }H_{B}B=\angle H_{\Gamma }\Gamma B}}}
Το τετράπλευρο
A
H
Γ
H
B
H
′
{\displaystyle {\rm {AH_{\Gamma }H_{B}H'}}}
παραπληρωματικές . Άρα
∠
H
Γ
A
H
′
=
∠
H
Γ
H
B
H
′
{\displaystyle {\rm {\angle H_{\Gamma }AH'=\angle H_{\Gamma }H_{B}H'}}}
Τέλος, έχουμε ότι
∠
A
H
′
H
Γ
=
∠
H
A
′
H
′
Γ
{\displaystyle {\rm {\angle AH'H_{\Gamma }=\angle H_{A}'H'\Gamma }}}
κατακορυφήν γωνίες και
∠
H
A
′
H
′
Γ
=
90
o
−
H
′
A
H
Γ
=
90
o
−
H
′
Γ
H
A
{\displaystyle {\rm {\angle H_{A}'H'\Gamma =90^{o}-H'AH_{\Gamma }=90^{o}-H'\Gamma H_{A}}}}
A
H
A
′
Γ
{\displaystyle {\rm {AH_{A}'\Gamma }}}
A
H
′
{\displaystyle {\rm {AH'}}}
Ξανά θεωρούμε
H
′
{\displaystyle \mathrm {H} '}
B
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{B}} }
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
a
,
b
,
c
,
h
{\displaystyle a,b,c,h}
A
,
B
,
Γ
,
H
{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {H} }
B
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{B}} }
B
H
′
→
⋅
A
Γ
→
=
0
⇒
(
h
−
b
)
⋅
(
c
−
a
)
=
0
{\displaystyle {\vec {\rm {BH'}}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}}=0\Rightarrow (h-b)\cdot (c-a)=0}
Αφού
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
Γ
H
′
→
⋅
A
B
→
=
0
⇒
(
h
−
c
)
⋅
(
b
−
a
)
=
0
{\displaystyle {\vec {\rm {\Gamma H'}}}\cdot {\vec {\rm {AB}}}=0\Rightarrow (h-c)\cdot (b-a)=0}
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε ότι
(
h
⋅
c
−
b
⋅
c
−
a
⋅
h
+
a
⋅
b
)
−
(
h
⋅
b
−
c
⋅
b
−
a
⋅
h
+
a
⋅
c
)
=
0
{\displaystyle (h\cdot c-b\cdot c-a\cdot h+a\cdot b)-(h\cdot b-c\cdot b-a\cdot h+a\cdot c)=0}
που συνεπάγεται ότι
(
c
−
b
)
⋅
(
h
−
a
)
=
0
⇒
B
Γ
→
⋅
A
H
′
→
=
0
{\displaystyle (c-b)\cdot (h-a)=0\Rightarrow {\vec {\rm {B\Gamma }}}\cdot {\vec {\rm {AH'}}}=0}
και άρα το
A
H
′
{\displaystyle \mathrm {AH'} }
H
′
{\displaystyle \mathrm {H} '}
Τα τρίγωνα
A
H
B
B
{\displaystyle \mathrm {AH_{B}B} }
A
H
Γ
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{\Gamma }\Gamma } }
A
^
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}
A
B
A
Γ
=
A
H
B
A
H
Γ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {AH_{\Gamma }} }}}
Αντίστοιχα,
B
A
B
Γ
=
B
H
A
B
H
Γ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BH_{A}} }{\mathrm {BH_{\Gamma }} }}\quad }
Γ
B
Γ
A
=
Γ
H
B
Γ
H
A
{\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\mathrm {\Gamma H_{B}} }{\mathrm {\Gamma H_{A}} }}}
Επομένως,
A
H
B
H
B
Γ
⋅
B
H
Γ
H
Γ
A
⋅
Γ
H
A
H
A
B
=
A
Γ
A
B
⋅
B
A
B
Γ
⋅
Γ
B
Γ
A
=
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {H_{B}\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {BH_{\Gamma }} }{\mathrm {H_{\Gamma }A} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma H_{A}} }{\mathrm {H_{A}B} }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}=1}
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα , προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν.
(Ευθεία του Όιλερ βαρύκεντρο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
ορθόκεντρο
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
H
G
=
2
⋅
G
O
{\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO} }
(Κύκλος του Όιλερ
H
A
,
H
B
,
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }} }
A
H
,
B
H
,
Γ
H
{\displaystyle \mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H} }
(Θεώρημα Νάγκελ
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
H
A
H
B
⊥
O
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } }
H
B
H
Γ
⊥
O
A
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad }
H
A
H
Γ
⊥
O
B
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB} }
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1] :77 [2] :270
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1] :76
Το ορθόκεντρο είναι το σημείο
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
συνάρτηση :[5]
f
(
P
)
=
P
A
+
P
B
+
P
Γ
+
P
H
A
+
P
H
B
+
P
H
Γ
{\displaystyle f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }} }
Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα ανν το τρίγωνο είναι ισοσκελές .
u
A
=
2
α
⋅
τ
⋅
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
{\displaystyle u_{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
ημιπερίμετρος .
u
A
=
α
⋅
sin
B
⋅
sin
Γ
sin
A
{\displaystyle u_{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}}}}
u
B
=
β
⋅
sin
Γ
⋅
sin
A
sin
B
{\displaystyle \quad u_{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}}}}
u
Γ
=
γ
⋅
sin
A
⋅
sin
B
sin
Γ
{\displaystyle \quad u_{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}}}}
Έστω
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
εμβαδό του τριγώνου και
A
^
>
90
o
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}}
[4] :47
A
H
2
=
α
⋅
(
β
2
+
γ
2
−
α
2
)
4
E
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}}
και αν
A
<
90
o
{\displaystyle \mathrm {A} <90^{o}}
A
H
2
=
α
⋅
(
α
2
−
β
2
−
γ
2
)
4
E
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}}
A
H
2
+
B
H
2
+
Γ
H
2
=
12
R
2
−
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
Αν
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
βαρύκεντρο ,
(
O
,
R
)
{\displaystyle (\mathrm {O} ,R)}
περιγεγραμμένος ,
(
I
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )}
εγγεγραμμένος και
(
I
A
,
ρ
A
)
{\displaystyle (\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })}
παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε[8] [9] [4] :47
O
H
2
=
9
R
2
−
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
H
G
2
=
4
R
2
−
4
⋅
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
H
I
2
=
2
ρ
2
−
4
R
2
cos
A
cos
B
cos
Γ
{\displaystyle \mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma } }
H
I
A
2
=
2
ρ
A
2
−
4
R
2
cos
A
cos
B
cos
Γ
{\displaystyle \mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma } }
Για τα ύψη
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
A
H
⋅
H
H
A
=
B
H
⋅
H
H
B
=
Γ
H
⋅
H
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }} }
A
H
H
H
A
+
B
H
H
H
B
+
Γ
H
H
H
Γ
=
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1}
(
u
A
+
u
B
+
u
Γ
)
⋅
(
1
u
A
+
1
u
B
+
1
u
Γ
)
=
(
α
+
β
+
γ
)
⋅
(
1
α
+
1
β
+
1
γ
)
{\displaystyle (u_{\mathrm {A} }+u_{\mathrm {B} }+u_{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)}
Αν
μ
A
{\displaystyle \mu _{\mathrm {A} }}
διάμεσος τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
β
>
γ
{\displaystyle \beta >\gamma }
u
A
⋅
μ
A
=
β
2
−
γ
2
2
α
{\displaystyle u_{\mathrm {A} }\cdot \mu _{\mathrm {A} }={\frac {\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha }}}
Αν
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
A
,
ρ
B
,
ρ
Γ
{\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }}
[4] :46
1
ρ
A
=
1
u
B
+
1
u
Γ
−
1
u
A
{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}-{\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}}
1
ρ
A
+
1
ρ
B
+
1
ρ
Γ
=
1
ρ
=
1
u
A
+
1
u
B
+
1
u
Γ
{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}}
1
ρ
2
+
1
ρ
A
2
+
1
ρ
B
2
+
1
ρ
Γ
2
=
4
⋅
(
1
u
A
2
+
1
u
B
2
+
1
u
Γ
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}=4\cdot \left({\frac {1}{u_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}\right)}
Σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
α
>
β
>
γ
{\displaystyle \alpha >\beta >\gamma }
u
A
<
u
B
<
u
Γ
.
{\displaystyle u_{\mathrm {A} }<u_{\mathrm {B} }<u_{\mathrm {\Gamma } }.}
Το ορθικό τρίγωνο
H
A
H
B
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }} }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
Το τρίγωνο
H
A
H
B
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }} }
ορθικό (ή αλλιώς ποδικό ) τρίγωνο του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
↑ 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. ↑ 2,0 2,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. ↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α' . Αθήνα. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. ↑ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi :10.4171/EM/273 ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας . Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. ↑ Bogomolny, Alexander. «Distance between the Orthocenter and Circumcenter» . Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023 . ↑ Yiu, Paul. «Advanced Euclidean Geometry» (PDF) . Department of Mathematics, Florida Atlantic University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 13 Φεβρουαρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023 . 
