Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Μεσοκάθετη)
Η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.[1]:40[2]:70-72

Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Θεώρημα: Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Απόδειξη: Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι .

Αντίστροφα, έστω το ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε . Αν είναι το ίχνος του στο , τα τρίγωνα και είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε , δηλαδή το θα είναι το μέσο του και η κάθετη θα είναι η μεσοκάθετη.

Αναλυτική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω και δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο

,

χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο του και έχει κλίση

ως κάθετη στο .

Γεωμετρική κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα και και ακτίνα .
  2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των δύο κύκλων.
  3. Η ευθεία που ενώνει τα και είναι η μεσοκάθετος του .

Μεσοκάθετοι τριγώνου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το περίκεντρο.

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.

(Απόδειξη) Έστω η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι

και .

Άρα το ισαπέχει και από το σημείο . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των , και συντρέχουν στο .

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.