Σεβιανή

Το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AA'}}$ είναι μία σεβιανή στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Στην γεωμετρία, σεβιανή ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με ένα σημείο της απέναντι του πλευράς. Για παράδειγμα, στο σχήμα δεξιά, το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AA'}}$ είναι μία σεβιανή στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Γνωστές σεβιανές στα τρίγωνα είναι οι διάμεσοι, τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι συμμετροδιάμεσοι.

Το όνομα σεβιανή είναι προς τιμήν του Ιταλού μαθηματικού Τζιοβάνι Τσέβα που δημοσίευσε το θεώρημα που φέρει το όνομά του σχετικά με τρεις συντρέχουσες σεβιανές.

Γνωστές σεβιανές τριγώνου

Τέσσερις γνωστές περιπτώσεις σεβιανών:

• Διάμεσος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
• Ύψος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το ίχνος της κάθετης από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά.
• Διχοτόμος τριγώνου: Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το σημείο τομής της διχοτόμου με την απέναντι πλευρά.
• Συμμετροδιάμεσος τριγώνου: Η σεβιανή που σχηματίζει την ίδια γωνία με την διάμεσο και μία από της προσκείμενες πλευρές

Διάμεσος τριγώνου

Ύψος τριγώνου

Διχοτόμος τριγώνου

Συμμετροδιάμεσος τριγώνου

Σχετικά θεωρήματα

Θεώρημα Στιούαρτ

Το θεώρημα Στιούαρτ δίνει έναν τύπο για το μήκος της σεβιανής ${\rm {AA'}}$ στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Το θεώρημα Στιούαρτ δίνει έναν τύπο για το μήκος μία σεβιανής. Συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AA'}}$ μία σεβιανή, ισχύει ότι

$\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} )$,

από τον οποίο προκύπτει ότι το μήκος της σεβιανής είναι

$\mathrm {AA'} ={\sqrt {{\frac {\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} }{\mathrm {B\Gamma } }}-\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} }}$.

Θεώρημα Τσέβα

Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AA'}}$, ${\rm {BB'}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ συντρέχουν.

Το θεώρημα Τσέβα δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τρεις σεβιανές σε ένα τρίγωνο να συντρέχουν. Συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ οι σεβιανές ${\rm {AA'}}$, ${\rm {BB'}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ συντρέχουν ανν ισχύει ότι

${\rm {{\frac {\rm {A'B}}{\rm {A'\Gamma }}}\cdot {\frac {\rm {B'\Gamma }}{\rm {B'A}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma 'A}}{\rm {\Gamma 'B}}}=1}}$.

Θεώρημα Terquem

Το κυκλοσεβιανό συζυγές σημείο ${\rm {P'}}$ του σημείου ${\rm {P}}$ ως προς το ${\rm {AB\Gamma }}$.

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ένα εσωτερικό του σημείο ${\rm {P}}$. Έστω ${\rm {A',B',\Gamma '}}$ τα σημεία τομής των ${\rm {AP,BP,\Gamma P}}$ με τις πλευρές του τριγώνου. Επίσης, θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {A'B'\Gamma '}}$ και τα σημεία τομής του ${\rm {A'',B'',\Gamma ''}}$ με τις πλευρές του τριγώνου (πέραν των ${\rm {A',B',\Gamma '}}$). Το θεώρημα Terquem ή (θεώρημα Reuschle) λέει ότι τα ${\rm {AA'',BB'',\Gamma \Gamma ''}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο ${\rm {P'}}$, το οποίο ονομάζεται το κυκλοσεβιανό συζυγές του ${\rm {P}}$ ως προς το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$.

Θεώρημα van Aubel

Το θεώρημα van Aubel λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ για τρεις σεβιανές που συντρέχουν στο σημείο ${\rm {P}}$ ισχύει ότι

${\frac {\rm {AP}}{\rm {AA'}}}={\frac {\rm {A\Gamma '}}{\rm {B\Gamma '}}}+{\frac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}$.

Θεώρημα Routh

Το θεώρημα Routh δίνει έναν τύπο για το εμβαδόν του ${\rm {\Delta EZ}}$.

Το Θεώρημα Routh δίνει έναν τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν τρεις σεβιανές σε ένα τρίγωνο. Συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ όπου ${\rm {AA',BB',\Gamma \Gamma '}}$ είναι σεβιανές του, και ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ τα σημεία τομής τους, ισχύει ότι

${\rm {E}}_{\rm {\Delta EZ}}={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}\cdot {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}$,

όπου ${\tfrac {\rm {\Gamma A'}}{\rm {BA'}}}=x$, ${\tfrac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}=y$, and ${\tfrac {\rm {B\Gamma '}}{\rm {A\Gamma '}}}=z$. Το θεώρημα Τσέβα προκύπτει ως ειδική περίπτωση.

Δείτε επίσης

• Ευθύγραμμο τμήμα
• Θεώρημα του Τσέβα
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Σεβιανό τρίγωνο