Εγγεγραμμένος και παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των εσωτερικών διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$, $(\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })$ και $(\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της ${\hat {\rm {A}}}$ και των εξωτερικών διχοτόμων των ${\hat {\rm {B}}}$ και ${\hat {\rm {\Gamma }}}$, και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου. Το τρίγωνο ${\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}$ λέγεται παρεγγεγραμμένο τρίγωνο του ${\rm {AB\Gamma }}$.

Τα παράκεντρα συμβολίζονται επίσης με ${\rm {I}}_{\rm {A}},{\rm {I}}_{\rm {B}},{\rm {I}}_{\rm {\Gamma }}$ ή ${\rm {I}}_{\alpha },{\rm {I}}_{\beta },{\rm {I}}_{\gamma }$.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι ${\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αποδείξεις

Απόδειξη (με ιδιότητες διχοτόμων)  

Έστω ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ και ${\rm {I'}}$ το σημείο τομής τους. Από την κύρια ιδιότητα των διχοτόμων, κάθε σημείο της ${\rm {B\Delta _{B}}}$ ισαπέχει από τις πλευρές ${\rm {BA}}$ και ${\rm {B\Gamma }}$. Αντίστοιχα, για την ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$.

Επομένως, το ${\rm {I'}}$ ισαπέχει από τις τρεις πλευρές του τριγώνου και άρα ανήκει και στην διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Καταλήγουμε ότι ${\rm {I'}}$ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου.

Απόδειξη (με θεώρημα Τσέβα)  

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους ${\rm {A\Delta _{A}}}$, ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ότι

${\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}$ και $\quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}$

Επομένως, έχουμε ότι

${\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}$,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Ιδιότητες

• Το έγκεντρο ${\rm {I}}$ είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
• Η γωνία των διχοτόμων των ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση με $90^{\circ }+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Αφού ${\rm {BI}}$ η διχοτόμος της ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\Gamma I}}$ η διχοτόμος της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {IB\Gamma }}}={\tfrac {\hat {B}}{2}}$ και ${\widehat {\rm {I\Gamma B}}}={\tfrac {\hat {\Gamma }}{2}}$. Επομένως, αφού οι γωνίες του τριγώνου ${\rm {BI\Gamma }}$ αθροίζουν στις $180^{\circ }$

${\widehat {\rm {AIB}}}=180^{\circ }-{\frac {{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}{2}}=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-{\hat {A}}}{2}}=90^{\circ }+{\tfrac {\hat {A}}{2}}$.

• (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
• Το τρίγωνο ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$ που σχηματίζουν οι προβολές του ${\rm {I}}$ στις πλευρές του τριγώνου ονομάζεται το τρίγωνο Ζεργκόν.
• Οι γωνίες αυτού του τριγώνου είναι ίσες με

${\widehat {\rm {I_{B}I_{A}I_{\Gamma }}}}=90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$, ${\widehat {\rm {I_{\Gamma }I_{B}I_{A}}}}=90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {B}}}{2}}$ και ${\widehat {\rm {I_{A}I_{\Gamma }I_{B}}}}=90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}$.

• (Σημείο Ζεργκόν) Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Οι ευθείες ${\rm {IA,IB,I\Gamma }}$ είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$.

Μετρικές σχέσεις

• Έστω ${\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}$ οι προβολές του ${\rm {I}}$ στις πλευρές του τριγώνου, τότε

${\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}$ και $\quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Τα τρίγωνα ${\rm {AII_{B}}}$ και ${\rm {AII_{\Gamma }}}$ είναι ίσα, καθώς ${\rm {AI}}$ κοινή, ${\widehat {\rm {IAI_{B}}}}={\widehat {\rm {IAI_{\Gamma }}}}={\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$ και ${\rm {{\hat {I_{B}}}={\hat {I_{\Gamma }}}=90^{\circ }}}$ (κριτήριο Γ-Π-Γ). Επομένως, ${\rm {AI_{B}=AI_{\Gamma }=x}}$. Αντίστοιχα, ${\rm {BI_{A}=B_{\Gamma }=y}}$ και ${\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=z}}$.

Επίσης, έχουμε ότι

${\begin{aligned}y+z&=\alpha \\x+z&=\beta \\y+x&=\gamma \end{aligned}}$

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι

$x=\tau -\alpha ,\quad y=\tau -\beta \quad$ και $z=\tau -\gamma$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} =\tau \cdot \rho$.

• Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

$\rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τύπο

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{ABI}+E_{B\Gamma I}+E_{\Gamma AI}}}$.

Από τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι

${\rm {E_{ABI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ,\quad {\rm {E_{B\Gamma I}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho ,\quad$ και $\quad {\rm {E_{\Gamma AI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho$.

Επομένως,

${\rm {E_{AB\Gamma }={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )\cdot \rho =\tau \cdot \rho }}$.

Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.

• Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

και από

$\rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm {O} ,R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αν ${\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}$ είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

${\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho$.

Συντεταγμένες

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι $1:1:1$.
• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι ${\displaystyle \alpha$ :\beta :\gamma } .
• Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι

$\left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$, $({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})$ και $({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})$. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας ${\rm {\hat {B}}}$ και της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ και της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ με τις πλευρές ${\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}$ συμβολίζονται με ${\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}$ αντίστοιχα.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Απόδειξη

Απόδειξη  

Έστω ${\rm {J_{\Gamma }'}}$ το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των ${\rm {\hat {A}}}$ και ${\rm {\hat {B}}}$. Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}$ και ${\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}$. Επομένως, ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}$ και έτσι το ${\rm {I_{A}'}}$ είναι σημείο της διχοτόμου του ${\rm {\hat {A}}}$.

Ιδιότητες

• Τα παράκεντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
• Τα σημεία ${\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι συνευθειακά, καθώς και τα ${\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}$ και ${\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}$.
• Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση με $90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Αφού ${\rm {BJ_{A}}}$ και ${\rm {\Gamma J_{A}}}$ είναι εξωτερικές διχοτόμοι, έχουμε ότι

${\widehat {\rm {J_{A}B\Gamma }}}={\tfrac {180^{\circ }-{\hat {B}}}{2}}\quad$ και $\quad {\widehat {\rm {J_{A}\Gamma B}}}={\tfrac {180^{\circ }-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}$.

Από το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma J_{A}}}$ έχουμε ότι

${\widehat {\rm {BJ_{A}\Gamma }}}=180^{\circ }-{\tfrac {180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}}{2}}-{\tfrac {180^{\circ }-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}={\tfrac {{\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}=90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}.$

• Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {B}}}$ και της εξωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ${\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Από το τρίγωνο ${\rm {BJ_{A}J_{B}}}$ έχουμε ότι

${\widehat {\rm {BJ_{A}J_{B}}}}=180^{\circ }-({\tfrac {\hat {\rm {B}}}{2}}+{\tfrac {180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}}{2}})-(90^{\circ }-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}})={\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

• (Σημείο Ζεργκόν) Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
• Ισχύει ότι ${\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}$, ${\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}$ και ${\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}$, όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ η ημιπερίμετρος.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι ${\rm {AI_{A}''=AI_{A}'''}}$ ως τα ευθύγραμμα τμήματα του ${\rm {A}}$ εφαπτόμενα σε κύκλο. Για τον ίδιο λόγο έχουμε ότι ${\rm {BI_{A}''=BI_{A}'}}$ και ${\rm {\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}'''}}$. Επομένως, παίρνουμε το σύστημα

${\begin{aligned}y+\beta &=x+\gamma \\x+y&=\alpha .\end{aligned}}$

Το σύστημα έχει λύση

$x=\tau -\gamma \quad$ και $\quad y=\tau -\beta$.

Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα τμήματα.

• Αν ${\rm {A'}}$ το σημείο τομής της προέκτασης της ${\rm {AI}}$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε

${\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}$.

• Τα ${\rm {I,J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ ανά δύο ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα των οποίων τα μέσα ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.
• (Σημείο Νάγκελ) Αν ${\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}$ τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ με τις πλευρές ${\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}$ του τριγώνου, τότε τα ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.

Παρεγγεγραμμένο τρίγωνο

• Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ύψη του τριγώνου ${\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}$.
• Το ορθόκεντρο του παρεγγεγραμμένου τριγώνου είναι το έγκεντρο ${\rm {I}}$, δηλαδή τα ${\rm {I,J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ σχηματίζουν μία ορθοκεντρική τετράδα.

Μετρικές σχέσεις

• Από τον τύπο του Ήρωνα, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνεται από τους τύπους

$\rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},$ $\quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad$ και $\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}$.

Απόδειξη  

Από το σχήμα έχουμε ότι

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{AJ_{A}I_{A}''}+E_{AJ_{A}I_{A}'''}-E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}-E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}}}$.

Αφού τα τρίγωνα ${\rm {J_{A}I_{A}'B}}$ και ${\rm {J_{A}I_{A}''B}}$ είναι ίσα, έχουμε ότι

${\rm {E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}=2\cdot E_{BJ_{A}I_{A}''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot x$.

Αντίστοιχα,

${\rm {E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}=2\cdot E_{\Gamma J_{A}I_{A}'''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot y$.

Συνδυάζοντας τα παραπάνω και αφού $x+y=\alpha$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E_{AB\Gamma }}}&={\tfrac {1}{2}}\cdot (\gamma +x)\cdot \rho _{\rm {A}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +y)\cdot \rho _{\rm {A}}-\rho _{\rm {A}}\cdot x-\rho _{\rm {A}}\cdot y\\&=\rho _{\rm {A}}\cdot (\tau -\alpha ).\end{aligned}}$

• Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad$ και $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

και επίσης

$\rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm {O} ,R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad$ και $\quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τους τύπους:

${\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}$

και

${\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι $\rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R$.
• Το έγκεντρο και το παράκεντρο ${\rm {J}}_{\rm {A}}$ είναι τα δύο σημεία που δίνουν τις ακραίες τιμές της ${\textstyle {\frac {\rm {BX}}{\rm {\Gamma X}}}}$ από όλα τα σημεία ${\rm {X}}$ της διχοτόμου της γωνίας ${\hat {\rm {A}}}$.

Συντεταγμένες

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι $-1:1:1$, $1:-1:1$ και $1:1:-1$ αντίστοιχα.
• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι

${\displaystyle -\alpha$ :{\phantom {-}}\beta :{\phantom {-}}\gamma } ,

${\displaystyle {\phantom {-}}\alpha$ :-\beta :{\phantom {-}}\gamma }

και

${\displaystyle {\phantom {-}}\alpha$ :{\phantom {-}}\beta :-\gamma } .

• Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι

$\left({\frac {-\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {-\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$,

$\left({\frac {{\phantom {-}}\alpha \cdot x_{\rm {A}}-\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {{\phantom {-}}\alpha \cdot y_{\rm {A}}-\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$,

και

$\left({\frac {{\phantom {-}}\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}-\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {{\phantom {-}}\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}-\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$.

Δείτε επίσης

• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου