Θεώρημα van Schooten

Στην γεωμετρία, το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις άλλες δύο.^[1]^[2]

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Frans van Schooten.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα Πτολεμαίου

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {ABP\Gamma }}$ έχουμε ότι

\mathrm {PA} \cdot \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {PB} \cdot \mathrm {A\Gamma } +\mathrm {P\Gamma } \cdot \mathrm {AB} .

Αφού το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ισόπλευρο έχουμε ότι $\mathrm {AB} =\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$ . Από την προηγούμενη σχέση, καταλήγουμε ότι

\mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .

Απόδειξη με στοιχειώδη γεωμετρία

Θεωρούμε το σημείο $\mathrm {E}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ώστε ${\widehat {\rm {PBE}}}=60^{\circ }$ . Τότε, ${\widehat {\rm {APB}}}={\widehat {\rm {A\Gamma B}}}=60^{\circ }$ ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, το τρίγωνο $\mathrm {\Delta BP}$ είναι ισόπλευρο.

Αντίστοιχα, ${\widehat {\rm {AEB}}}={\widehat {\rm {APB}}}=60^{\circ }$ και ${\widehat {\rm {PAE}}}={\widehat {\rm {PBE}}}=60^{\circ }$ . Επομένως, το τρίγωνο $\mathrm {AE\Delta }$ είναι ισόπλευρο.

Αφού ${\widehat {\mathrm {PB\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {PB\Delta } }}-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}=60^{\circ }-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}$ και ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {AB\Gamma }}}-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}=60^{\circ }-{\widehat {\rm {\Gamma B\Delta }}}$ , έχουμε ότι $\mathrm {AE} =\mathrm {P\Gamma }$ ως χορδές στις οποίες βαίνουν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Άρα και ${\rm {P\Gamma =\Delta E}}$ .

Καταλήγουμε ότι

\mathrm {PA} =\mathrm {P\Delta } +\mathrm {\Delta A} =\mathrm {PB} +\mathrm {\Delta E} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Θεώρημα van Schooten και Pompeiu

Παραπομπές

↑ Viglione, Raymond (Απριλίου 2016). «Proof Without Words: van Schooten's Theorem». Mathematics Magazine 89 (2): 132–132. doi:https://doi.org/10.4169/math.mag.89.2.132.
↑ Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357.

[1] Viglione, Raymond (Απριλίου 2016). «Proof Without Words: van Schooten's Theorem». Mathematics Magazine 89 (2): 132–132. doi:https://doi.org/10.4169/math.mag.89.2.132.

[2] Στεργίου, Χαράλαμπος (2011). Γεωμετρία για διαγωνισμούς: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604930357.

[1]

[2]