Σχέση του Λάιμπνιτς

Τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm {M}$ του επιπέδου.

Στην γεωμετρία, η σχέση του Λάιμπνιτς (αναφέρεται και ως σχέση του Leibniz) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου $\mathrm {M}$ από τις κορυφές ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ και το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma A} ^{2}).\end{aligned}}$

Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα διαμέσων  

Σχήμα απόδειξης

Έστω ${\rm {M_{A}}}$ το μέσο της ${\rm {B\Gamma }}$. Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm {BM\Gamma }}$ έχουμε ότι

${\rm {MB^{2}+M\Gamma ^{2}=2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}$.

Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$,

${\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot {AM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}$.

Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι ${\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}}}$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {MA^{2}\cdot GM_{A}+{MM_{A}}^{2}\cdot AG}}&{\rm {=AM_{A}\cdot (MG^{2}+AG\cdot GM_{A})\Rightarrow }}\\{\rm {{\tfrac {1}{3}}MA^{2}+{\tfrac {2}{3}}{MM_{A}}^{2}}}&{\rm {=MG^{2}+{\tfrac {2}{3}}{AM_{A}}^{2}.}}\end{aligned}}$

Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε

${\begin{aligned}{\rm {MA^{2}+MB^{2}+M\Gamma ^{2}}}&={\rm {3\cdot MG^{2}+2\cdot {AM_{A}}^{2}-2\cdot {MM_{A}}^{2}+2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}-{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}+B\Gamma ^{2}.}}\end{aligned}}$

Απόδειξη με διανύσματα  

Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση. Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι

${\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }}=0$.

Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GA} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GB} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})^{2}\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {MG} \cdot ({\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}$

Πορίσματα

Από την σχέση του Λάιμπνιτς προκύπτει ότι το βαρύκεντρο ${\rm {G}}$ του τριγώνου είναι το σημείο ${\rm {M}}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:

$f({\rm {M}})=\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}$.

Γενικεύσεις

Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία $\mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm {M}$ του επιπέδου ισχύει ότι

$\mathrm {MA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {MA} _{n}^{2}=n\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GA} _{n}^{2}$,

όπου $\mathrm {G} ={\tfrac {1}{n}}\cdot (\mathrm {A} _{1}+\ldots +\mathrm {A} _{n})$.

Δείτε επίσης

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Βαρύκεντρο τριγώνου