Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
με βαρύκεντρο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
και ένα τυχόν σημείο
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
του επιπέδου.
Στην γεωμετρία , η σχέση του Λάιμπνιτς (αναφέρεται και ως σχέση του Leibniz ) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
από τις κορυφές ενός τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
και το βαρύκεντρο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,[1] :181-182 [2] :132-133 [3] :131 [4] :47
M
A
2
+
M
B
2
+
M
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
G
A
2
+
G
B
2
+
G
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
1
3
⋅
(
A
B
2
+
B
Γ
2
+
Γ
A
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma A} ^{2}).\end{aligned}}}
Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς .
Σχήμα απόδειξης
Έστω
M
A
{\displaystyle {\rm {M_{A}}}}
το μέσο της
B
Γ
{\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}
. Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο
B
M
Γ
{\displaystyle {\rm {BM\Gamma }}}
έχουμε ότι
M
B
2
+
M
Γ
2
=
2
⋅
M
M
A
2
+
1
2
B
Γ
2
{\displaystyle {\rm {MB^{2}+M\Gamma ^{2}=2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}
.
Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
,
A
B
2
+
A
Γ
2
=
2
⋅
A
M
A
2
+
1
2
B
Γ
2
{\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot {AM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}
.
Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι
A
G
=
2
3
A
M
A
{\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}}}}
έχουμε ότι
M
A
2
⋅
G
M
A
+
M
M
A
2
⋅
A
G
=
A
M
A
⋅
(
M
G
2
+
A
G
⋅
G
M
A
)
⇒
1
3
M
A
2
+
2
3
M
M
A
2
=
M
G
2
+
2
3
A
M
A
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}\cdot GM_{A}+{MM_{A}}^{2}\cdot AG}}&{\rm {=AM_{A}\cdot (MG^{2}+AG\cdot GM_{A})\Rightarrow }}\\{\rm {{\tfrac {1}{3}}MA^{2}+{\tfrac {2}{3}}{MM_{A}}^{2}}}&{\rm {=MG^{2}+{\tfrac {2}{3}}{AM_{A}}^{2}.}}\end{aligned}}}
Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε
M
A
2
+
M
B
2
+
M
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
2
⋅
A
M
A
2
−
2
⋅
M
M
A
2
+
2
⋅
M
M
A
2
+
3
2
B
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
A
B
2
+
A
Γ
2
−
1
2
B
Γ
2
+
3
2
B
Γ
2
=
3
⋅
M
G
2
+
A
B
2
+
A
Γ
2
+
B
Γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}+MB^{2}+M\Gamma ^{2}}}&={\rm {3\cdot MG^{2}+2\cdot {AM_{A}}^{2}-2\cdot {MM_{A}}^{2}+2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}-{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}+B\Gamma ^{2}.}}\end{aligned}}}
Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση.
Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι
G
A
→
+
G
B
→
+
G
Γ
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }}=0}
.
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι
M
A
2
+
M
B
2
+
M
Γ
2
=
(
M
G
→
+
G
A
→
)
2
+
(
M
G
→
+
G
B
→
)
2
+
(
M
G
→
+
G
Γ
→
)
2
=
3
⋅
M
Γ
2
+
G
A
2
+
G
B
2
+
G
Γ
2
+
2
⋅
M
G
⋅
(
G
A
→
+
G
B
→
+
G
Γ
→
)
=
3
⋅
M
Γ
2
+
G
A
2
+
G
B
2
+
G
Γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GA} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GB} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})^{2}\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {MG} \cdot ({\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}}
Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle \mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}}
και ένα τυχόν σημείο
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
του επιπέδου ισχύει ότι[5]
M
A
1
2
+
…
+
M
A
n
2
=
n
⋅
M
G
2
+
G
A
1
2
+
…
+
G
A
n
2
{\displaystyle \mathrm {MA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {MA} _{n}^{2}=n\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GA} _{n}^{2}}
,
όπου
G
=
1
n
⋅
(
A
1
+
…
+
A
n
)
{\displaystyle \mathrm {G} ={\tfrac {1}{n}}\cdot (\mathrm {A} _{1}+\ldots +\mathrm {A} _{n})}
.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0 .
↑ Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry . New York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2 .
↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Tsintsifas, G. A. «The applications of Leibniz's formula in Geometry» (PDF) . Ανακτήθηκε στις 13 Αυγούστου 2023 .