Τύπος του Ήρωνα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β, και γ έχει εμβαδό Ε:

όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: Για ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και Α, Β, Γ οι απέναντί τους γωνίες ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων:

Έχουμε:

.


Το ύψος του τριγώνου με βάση α έχει μήκος βημ(Γ), και έτσι έχουμε: