Τύπος του Ήρωνα

Έστω $\alpha ,\beta ,\gamma$ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$, που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha$, $\beta$ και $\gamma$ έχει εμβαδό

$\mathrm {E} ={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

$\tau ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

$\mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -\beta )}}.$

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Παραδείγματα

Ένα τρίγωνο με πλευρές

$\alpha =$ 6

$\beta =$ 7

$\gamma =$ 8

έχει εμβαδόν1

${\rm {E=}}$20.33316256758894Μη-έγκυρο τρίγωνο.

Αποδείξεις

Απόδειξη  

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$, κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$ και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$.

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές ${\rm {{B\Gamma }=\alpha }}$, ${\rm {{A\Gamma }=\beta }}$, ${\rm {{AB}=\gamma }}$ και ${\rm {AH_{A}}}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ${\rm {B\Gamma }}$.

Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο,

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {{B\Gamma }\cdot {\rm {AH_{A}}}}}$.

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε το ύψος ${\rm {AH_{A}}}$ συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Στο τρίγωνο ορθογώνιο ${\rm {ABH_{A}}}$ εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε,

${\rm {AH_{A}^{2}=AB^{2}-BH_{A}^{2}=\gamma ^{2}-BH_{A}^{2}}}$

(1)

Για να υπολογίσουμε το ${\rm {BH_{A}}}$ εφαρμόζουμε την επέκταση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και έχουμε,

${\rm {\beta ^{2}=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-2\alpha \cdot BH_{A}}}$ όταν ${\hat {\rm {B}}}<90^{\circ }$ ή

${\rm {\beta ^{2}=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+2\alpha \cdot BH_{A}}}$ όταν ${\hat {\rm {B}}}>90^{\circ }$.

Συνδιάζοντας τις δύο σχέσεις μπορούμε να πούμε ότι,

${\rm {BH_{A}=\pm {\frac {\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}}{2\alpha }}}}$

και άρα

${\rm {BH_{A}^{2}={\frac {(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}}{4\alpha ^{2}}}}}$.

(2)

Η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται

${\rm {AH_{A}^{2}=\gamma ^{2}-{\frac {(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}}{4\alpha ^{2}}}}}$ ή

${\rm {AH_{A}^{2}={\frac {4\alpha ^{2}\gamma ^{2}-(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}}{4\alpha ^{2}}}}}$.

(3)

Ο αριθμητής του κλάσματος της σχέσης (3) είναι μία διαφορά τετραγώνων και θα την παραγοντοποιήσουμε.

${\begin{aligned}{\rm {4\alpha ^{2}\gamma ^{2}-(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}}}&={\rm {(2\alpha \gamma +\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})\cdot (2\alpha \gamma -\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\beta ^{2})}}\\&={\rm {\left((\alpha +\gamma )^{2}-\beta ^{2}\right)\cdot \left(\beta ^{2}-(\alpha -\gamma )^{2}\right)}}\\&={\rm {(\alpha +\gamma +\beta )\cdot (\alpha +\gamma -\beta )\cdot (\beta +\alpha -\gamma )\cdot (\beta -\alpha +\gamma ).}}\end{aligned}}$

(4)

Θέτουμε $\alpha +\beta +\gamma =2\tau$ και έχουμε

$\alpha +\beta -\gamma =2(\tau -\gamma )$,

$\alpha +\gamma -\beta =2(\tau -\beta )$,

$\beta +\gamma -\alpha =2(\tau -\alpha )$.

Τώρα η σχέση (4) γράφεται,

${\rm {4\alpha ^{2}\gamma ^{2}-(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}=2\tau \cdot 2(\tau -\gamma )\cdot 2(\tau -\beta )\cdot 2(\tau -\alpha )=16\cdot \tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}}$.

Και βάσει αυτής η σχέση (3) γράφεται,

${\rm {AH_{A}^{2}={\frac {4\alpha ^{2}\gamma ^{2}-(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})^{2}}{4\alpha ^{2}}}={\frac {16\cdot \tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}{4\alpha ^{2}}}}}$.

(5)

Δηλαδή

${\rm {AH_{A}={\frac {2\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}}}{\alpha }}}}$.

Ώστε το εμβαδόν είναι,

${\begin{aligned}{\rm {\rm {E}}}&={\rm {{\frac {1}{2}}\cdot {\rm {{B\Gamma }\cdot {\rm {AH_{A}\cdot }}}}}}\\&={\rm {{\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot {\frac {2\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}}}{\alpha }}}}\\&={\rm {{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}}.}}\end{aligned}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι ${\rm {E}}={\rm {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\alpha )}}}$, με $2\tau =\alpha +\beta +\gamma$.

$\square$

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής:

Απόδειξη  

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$, κορυφές $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma }$ και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$.

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ και $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {\Gamma }$ οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία ${\hat {\rm {\Gamma }}}$ έχουμε ότι:

$\cos {\rm {\Gamma }}={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}$.

Από τη σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:

$\sin \mathrm {\Gamma } ={\sqrt {1-\cos ^{2}{\rm {\Gamma }}}}={\frac {\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}{2\alpha \beta }}$.

Χρησιμοποιώντας τη διαφορά τετραγώνων $x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)$ έχουμε ότι:

$\sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(2\alpha \beta -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))\cdot (2\alpha \beta +(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))}}.$

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$, προκύπτει ότι:

$\sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma ^{2}-(\alpha -\beta )^{2})\cdot ((\alpha +\beta )^{2}-\gamma ^{2}))}}.$

Χρησιμοποιώντας πάλι τη διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι

${\begin{aligned}\sin {\rm {\Gamma }}&={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma -\alpha +\beta )\cdot (\gamma +\alpha -\beta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}\\&={\frac {2}{\alpha \beta }}\cdot {\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}.\end{aligned}}$

Το ύψος $\upsilon _{\rm {A}}$ του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά $\alpha$ έχει μήκος

$\upsilon _{\rm {A}}=\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }},$

και έτσι έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {1}{2}}({\beta {\acute {\alpha }}\sigma \eta })({{\acute {\upsilon }}\psi \mathrm {o} \varsigma })={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \upsilon _{\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\\&={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }},\end{aligned}}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

$\square$

Γενικεύσεις

Τύπος Βραχμαγκούπτα

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και ημιπερίμετρο $\tau$, το εμβαδόν του είναι ίσο με

$\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}.$

Τύπος Bretschneider

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και γωνίες $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {\Delta }$ ως

$\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos({\rm {A}}+{\rm {\Gamma }}))}}$.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο του Ήρωνα
• Τύπος Βραχμαγκούπτα
• Τύπος Bretschneider

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα

Ελληνικά άρθρα

• Παπαδάτος Ιωάννης (1976). «Ο τύπος του Ήρωνα είναι του Αρχιμήδη». Ευκλείδης Β΄ (5): 5-6. 
• Ν. Κισκύρας (1980). «Αριθμητικές Τετράδες του Ήρωνα - Ηρώνεια Τρίγωνα». Ευκλείδης Β΄ (3): 8-9. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bényi, Árpád (Ιουλίου 2003). «87.47 A Heron-type formula for the triangle». The Mathematical Gazette 87 (509): 324–326. doi:10.1017/S0025557200172882. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-07_87_509/page/324. 
• Lowry, H. V. (Οκτωβρίου 1964). «116. Heron's formula». The Mathematical Gazette 48 (365): 312–313. doi:10.2307/3613028. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1964-10_48_365/page/312. 
• Lord, Nick (2013). «97.29 A family of Heron-type formulae for the triangle». The Mathematical Gazette 97 (539): 294-297. https://www.jstor.org/stable/24496814. 
• Nelsen, Roger B. (Σεπτεμβρίου 2001). «Heron's Formula via Proofs without Words». The College Mathematics Journal 32 (4): 290. doi:10.2307/2687566. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-09_32_4/page/290. 
• Josefsson, Martin (2016). 100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals. 100, σελ. 505-508. https://www.jstor.org/stable/44161660. 
• Stroethoff, Karel (Ιουλίου 1999). «83.37 Heron’s formula via complex numbers». The Mathematical Gazette 83 (497): 292–293. doi:10.2307/3619066. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/292.