Διχοτόμος γωνίας

Η διχοτόμος ${\rm {O\delta }}$ της γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$.

Στη γεωμετρία, διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Το θεώρημα της διχοτόμου μιας γωνίας

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Θεώρημα — Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντιστρόφως κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της.

Απόδειξη  

Έστω η γωνία ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και $\mathrm {O\delta }$ η διχοτόμος της. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο της $\mathrm {O} \delta$ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Θεωρούμε τυχόν σημείο $\mathrm {\Sigma }$ της $\mathrm {O} \delta$. Από το $\mathrm {\Sigma }$ φέρνουμε τις κάθετες $\mathrm {\Sigma A}$ στην $\mathrm {O} x$ και $\mathrm {\Sigma B}$ στην $\mathrm {O} y$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ έχουν κοινή την υποτείνουσα $\mathrm {O\Sigma }$ και τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {AO\Sigma } }}={\widehat {\mathrm {BO\Sigma } }}$, άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες. Συνεπώς $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$.

Αντίστροφα, έστω ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ μία γωνία και $\mathrm {\Sigma }$ εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις $\mathrm {O} x$ και $\mathrm {O} y$, δηλαδή $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$. Θα αποδείξουμε ότι το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$. Ενώνουμε το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ με την κορυφή $\mathrm {O}$ και τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ έχουν κοινή την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$ άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίση. Συνεπώς, ${\widehat {\mathrm {AO\Sigma } }}={\widehat {\mathrm {BO\Sigma } }}$. Δηλαδή το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ ανήκει στη διχοτόμο $\mathrm {O\delta }$ της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$. $\square$

Σημείωση: Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

Ιδιότητες

Θεώρημα — Κάθε γωνία έχει μία και μόνο διχοτόμο.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Έστω η γωνία ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$. Στις πλευρές της ${\rm {O}}x$ και ${\rm {O}}y$ παίρνουμε τα σημεία ${\rm {A,B}}$ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ${\rm {OA=OB}}$ και ${\rm {\Delta }}$ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {AO\Delta }}$ και ${\rm {BO\Delta }}$ προκύπτει ότι ${\widehat {\mathrm {AO\Delta } }}={\widehat {\mathrm {BO\Delta } }}$ συνεπώς η ${\rm {O\Delta }}$ είναι διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει και δεύτερη διχοτόμος της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και έστω ${\rm {\Delta '}}$ το σημείο τομής της με την ${\rm {AB}}$. Από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {AO\Delta '}}$ και ${\rm {BO\Delta '}}$ προκύπτει ότι ${\rm {A\Delta '=B\Delta '}}$ δηλαδή το σημείο ${\rm {\Delta '}}$ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$. Αυτό είναι άτοπο διότι το ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Συνεπώς η διχοτόμος της γωνίας είναι μία μόνο.

$\square$

Πόρισμα — Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι και άξονας συμμετρίας της γωνίας.

Θεώρημα — Η γωνία των διχοτόμων δύο εφεξής γωνιών ισούται με το ημιάθροισμα των δύο αυτών γωνιών.

Απόδειξη  

Έστω οι εφεξής γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$. Χαράζουμε τις διχοτόμους τους ${\rm {O\delta }}$ και ${\rm {O\varepsilon }}$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}={\frac {{\widehat {x\mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} y}}}{2}}$ . Είναι,

${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}={\widehat {\mathrm {\delta Oz} }}+{\widehat {\mathrm {zO\varepsilon } }}={\frac {\widehat {x\mathrm {O} z}}{2}}+{\frac {+{\widehat {z\mathrm {O} y}}}{2}}={\frac {{\widehat {x\mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} y}}}{2}}$.

$\square$

Θεώρημα — Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Απόδειξη  

Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Έστω οι γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$, εφεξής και παραπληρωματικές. Χαράζουμε τις διχοτόμους τους ${\rm {O\delta }}$ και ${\rm {O\varepsilon }}$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι οι διχοτόμοι ${\rm {O\delta }}$ και ${\rm {O\varepsilon }}$ είναι κάθετες δηλαδή ότι η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}$ είναι ορθή.

Οι γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$ είναι παραπληρωματικές άρα ισχύει:

${\widehat {x\mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} y}}=180^{\circ }$

$2\cdot {\widehat {\mathrm {\delta Oz} }}+2\cdot {\widehat {\mathrm {zO\varepsilon } }}=180^{\circ }$, καθώς ${\rm {O}}\delta$ και ${\rm {O}}\varepsilon$ διχοτόμοι των ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$

${\widehat {\delta \mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} \varepsilon }}=90^{\circ }$

${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}=90^{\circ }$.

Άρα οι διχοτόμοι είναι κάθετες.

$\square$

Θεώρημα — Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Απόδειξη  

Οι διχοτόμοι κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Θεωρούμε τις ευθείες $xx'$ και $yy'$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο και τις διχοτόμους $O\delta$ και $O\varepsilon$ των κατακορυφήν γωνιών ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και ${\widehat {x'\mathrm {O} y'}}$ αντίστοιχα.
Θα αποδείξουμε ότι η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}=180^{\circ }$.
Οι κατακορυφήν γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και ${\widehat {x'\mathrm {O} y'}}$ είναι ίσες άρα ισχύει:

${\widehat {x\mathrm {O} \delta }}={\widehat {\delta \mathrm {O} y}}={\widehat {x'\mathrm {O} \varepsilon }}={\widehat {\varepsilon \mathrm {O} y'}}=\omega$.

Η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}$ γράφεται ως

${\begin{aligned}{\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}&={\widehat {\delta \mathrm {O} x}}+{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&=\omega +{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&={\widehat {\varepsilon \mathrm {O} x'}}+{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&={\widehat {x\mathrm {O} x'}}\\&=180^{\circ }.\end{aligned}}$

Άρα οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

$\square$

Θεώρημα — Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες ή κάθετες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε τις γωνίες ${\widehat {x{\rm {O}}y}}=\vartheta$ και ${\widehat {x'{\rm {O'}}y'}}=\varphi$ οι οποίες έχουν ${\rm {O}}x\parallel {\rm {O'}}x'$ και ${\rm {O}}y\parallel {\rm {O'}}y'$. Οι γωνίες αυτές θα είναι ίσες ή παραπληρωματικές (βλέπε Ιδιότητες γωνίας). Αν οι γωνίες είναι ίσες τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες. Αν οι γωνίες είναι παραπληρωματικές τότε οι διχοτόμοι τους είναι κάθετες. $\square$

Θεώρημα — Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες, τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες ή κάθετες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε τις γωνίες ${\widehat {x{\rm {O}}y}}=\vartheta$ και ${\widehat {x'{\rm {O'}}y'}}=\varphi$ οι οποίες έχουν ${\rm {O}}x\parallel {\rm {O'}}x'$ και ${\rm {O}}y\parallel {\rm {O'}}y'$. Οι γωνίες αυτές θα είναι ίσες ή παραπληρωματικές (βλέπε Ιδιότητες γωνίας). Αν οι γωνίες είναι ίσες τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες. Αν οι γωνίες είναι παραπληρωματικές τότε οι διχοτόμοι τους είναι κάθετες. $\square$

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή της διχοτόμου της γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ με κανόνα και διαβήτη.

Η διχοτόμος μίας γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής $\mathrm {O}$ των δύο πλευρών της γωνίας.
2. Θεωρούμε $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το $\mathrm {O}$.
4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

$A_{1}x+B_{1}y+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A_{2}x+B_{2}y+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0.$

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+{\mathit {\Gamma }}_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+{\mathit {\Gamma }}_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},$

και

${\frac {A_{1}x+B_{1}y+{\mathit {\Gamma }}_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+{\mathit {\Gamma }}_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138. 
• Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:10.2307/3613462. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58. 
• Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106. 
• Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58. 

Δείτε επίσης

• Γωνία
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Θεώρημα διχοτόμου
• Έγκεντρο τριγώνου