Ευθύγραμμο τμήμα

Ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ με φορέα την ευθεία $\varepsilon$.

Στην γεωμετρία, ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία μεταξύ δύο σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ μίας ευθείας $\varepsilon$, καθώς και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$.

Η ευθεία $\varepsilon$ καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ λέγονται άκρα του. Η ύπαρξη του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ οποιονδήποτε σημείων ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ προκύπτει από τα αξιώματα της γεωμετρίας.

Είδη ευθυγράμμου τμήματος

• Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται ανοιχτό.
• Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σε αυτό ονομάζεται κλειστό.
• Τέλος όταν τα άκρα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ συμπίπτουν, δηλαδή ${\rm {A}}={\rm {B}}$, τότε ονομάζεται μηδενικό.

Άλλες έννοιες

Το μήκος ενός ευθυγράμμου σχήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων.

Το μέσο ${\rm {M}}$ ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$, ονομάζεται το σημείο του εκείνο που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ${\rm {MA}}={\rm {MB}}$. Από τα αξιώματα προκύπτει ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων

Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$

${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$

${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$

Ας είναι ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς $\varepsilon$ και $\delta$ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις $\varepsilon$ και $\delta$ έτσι ώστε το ${\rm {A}}$ να συμπίπτει με το ${\rm {\Gamma }}$.

• Αν το ${\rm {\Delta }}$ συμπίπτει με το ${\rm {B}}$ λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι ίσο με το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$.
• Αν το ${\rm {\Delta }}$ βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος ${\rm {AB}}$ τότε λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι μεγαλύτερο από το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$.
• Τέλος, αν το ${\rm {\Delta }}$ βρίσκεται στην ημιευθεία ${\rm {AB}}$, αλλά όχι ανάμεσα στα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, τότε λέμε ότι το ${\rm {AB}}$ είναι μικρότερο από το ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και συμβολίζουμε ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$.

Ιδιότητες ισότητας

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Ανακλαστική, δηλαδή ${\rm {AB}}={\rm {AB}}$

Συμμετρική, δηλαδή αν ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ τότε ισχύει και ${\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {AB}}$

Μεταβατική: αν ${\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {EZ}}$ τότε ισχύει και ${\rm {AB}}={\rm {EZ}}$.

Ιδιότητες ανισότητας

Επίσης η σχέση ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ή ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή αν ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {EZ}}$ τότε και ${\rm {AB}}>{\rm {EZ}}$.

Η σχέση ανισότητας είναι αντισυμμετρική (καθώς δεν μπορεί να ισχύει και ${\rm {AB}}<{\rm {\Gamma \Delta }}$ αλλά και ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$) και μη-ανακλαστική (καθώς δεν ισχύει ${\rm {AB}}<{\rm {AB}}$) και επομένως είναι μία σχέση γνήσιας διάταξης.

Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων

Πρόσθεση

Έστω ${\rm {AB}}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία $\varepsilon$ παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ${\rm {K\Lambda }}$, ${\rm {\Lambda M}}$ τέτοια ώστε ${\rm {K\Lambda }}={\rm {AB}}$ και ${\rm {\Lambda M}}={\rm {\Gamma \Delta }}$. Τότε άθροισμα των ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {KM}}$ και θα γράφουμε ${\rm {KM}}={\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}$.

Το άθροισμα περισσοτέρων από δύο ευθυγράμμων τμημάτων, ορίζεται επαγωγικά μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• Αντιμεταθετική: για κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα $\alpha ,\beta$, ισχύει ότι $\alpha +\beta =\beta +\alpha$.
• Προσεταιριστική: για κάθε τρία ευθύγραμμα τμήματα $\alpha ,\beta ,\gamma$ ισχύει ότι $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$.
• Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα $0$ για το οποίο ισχύει $\alpha +0=0+\alpha =\alpha$.

Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

• Αν για παράδειγμα ${\rm {AB}}>{\rm {B\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {\Delta E}}$ τότε ${\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Delta E}}$ (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
• Αν επίσης ${\rm {AB}}>{\rm {B\Gamma }}$ τότε συνεπάγεται ότι ${\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}>{\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Gamma \Delta }}$ (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).

Αφαίρεση

Έστω ${\rm {AB}}>{\rm {\Gamma \Delta }}$ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία $\varepsilon$ παίρνουμε τα ${\rm {K\Delta }}={\rm {AB}}$ και ${\rm {KM}}={\rm {\Gamma \Delta }}$ με το σημείο ${\rm {M}}$ να κείται στο εσωτερικό του ${\rm {K\Lambda }}$. Τότε διαφορά του ${\rm {\Gamma \Delta }}$ από το ${\rm {AB}}$ θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M\Lambda }}$ και θα γράφουμε ${\rm {M\Lambda }}={\rm {AB}}-{\rm {\Gamma \Delta }}$.

Πολλαπλασιασμός

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω $3$, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που γίνεται από το ${\rm {AB}}$ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ${\rm {A\Gamma }}=3{\rm {AB}}$

• Έστω ${\rm {AB}}$ ευθύγραμμο τμήμα και $\nu$ ένας φυσικός αριθμός. Αν ${\rm {K\Lambda }}$ είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο

$\mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } _{\nu }$,

τότε λέμε ότι το ${\rm {K\Lambda }}$ είναι το $\nu$-πλάσιο γινόμενο του ${\rm {AB}}$ και γράφουμε $\mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}$, καθώς και ότι το ${\rm {AB}}$ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του ${\rm {K\Lambda }}$, και γράφουμε $\mathrm {A} \mathrm {B} ={\tfrac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda$. Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι $\Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B}$ τότε μπορούμε να γράψουμε $\Gamma \Delta ={\tfrac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda$ και το τμήμα ${\rm {\Gamma \Delta }}$ ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού $\mu /\nu$ με το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {K\Lambda }}$.

Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {K\Lambda }}$. Αν ισχύει ${\rm {AB}}={\tfrac {\mu }{\nu }}{\rm {K\Lambda }}$, τότε λέμε ότι το μήκος του ${\rm {AB}}$ ως προς το ${\rm {K\Lambda }}$ είναι $\mu /\nu$, ή ότι η απόσταση του ${\rm {A}}$ από το ${\rm {B}}$ είναι $\mu /\nu$.

Διαίρεση με φυσικό αριθμό

Το πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ δια ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {A\Gamma }}$ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ${\rm {AB}}$, όπου και θα ισχύει η σχέση ${\rm {A\Gamma }}={\rm {AB}}/3$.

Δίαρεση με δοσμένο λόγο

Για ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ λέμε ότι το σημείο του ${\rm {M}}$ διαιρεί εσωτερικά το τμήμα σε λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ αν

${\frac {\rm {AM}}{\rm {BM}}}={\frac {\mu }{\nu }}$.

Για ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ λέμε ότι το σημείο ${\rm {N}}$ που ανήκει στον φορέα του αλλά όχι στο τμήμα, διαιρεί εξωτερικά το τμήμα σε λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$ αν

${\frac {\rm {AN}}{\rm {BN}}}={\frac {\mu }{\nu }}$.

Για ένα δεδομένο τμήμα ${\rm {AB}}$ και έναν δεδομένο λόγο ${\tfrac {\mu }{\nu }}$, τα σημεία ${\rm {M,N}}$ είναι μοναδικά.

Σε έναν διανυσματικό χώρο

Σε έναν πραγματικό (ή μιγαδικό) διανυσματικό χώρο $V$, το (κλειστό) ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$ είναι το εξής σύνολο των σημείων

$\ell =\left\{\mathbf {a} +t\cdot \mathbf {b} :t\in [0,1]\right\}$.

Το ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα, δεν περιέχει τα σημεία $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$, και ορίζεται ως

$\ell =\left\{\mathbf {a} +t\cdot \mathbf {b} :t\in (0,1)\right\}$.

Και στις δύο περιπτώσεις, το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των σημείων $\mathbf {a}$ και $\mathbf {b}$, δηλαδή

$|\ell |=|\mathbf {a} -\mathbf {b} |={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {a} _{i}-\mathbf {b} _{i})^{2}}}$,

όπου $n$ είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου.

Δείτε ακόμη

• Ευθεία
• Διάνυσμα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Line segment στο Wikimedia Commons