Ευθύγραμμο τμήμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Γεωμετρία
Ταξινόμηση
Dewey 516
MSC2010 51-XX

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων Α και Β μίας ευθείας ε.

  • Η δε ευθεία ε καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία Α και Β, άκρα του.

Είδη ευθυγράμμου τμήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε ονομάζεται ανοιχτό ευθύγραμμο τμήμα.
  • Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σ΄ αυτό ονομάζεται κλειστό ευθύγραμμο τμήμα.
  • Τέλος όταν τα άκρα Α και Β συμπίπτουν, (Α=Β), τότε ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα.

Άλλα στοιχεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Μήκος ευθυγράμμου σχήματος, ονομάζεται η μεταξύ απόσταση των δύο άκρων.
  • Μέσο ευθυγράμμου τμήματος, ονομάζεται το σημείο του εκείνο, (Μ), που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ΜΑ=ΜΒ.

Αξίωμα: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς ε και δ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις ε και δ έτσι ώστε το Α να συμπίπτει με το Γ.

  • Αν το Δ συμπίπτει με το Β λέμε ότι το ΑΒ είναι ίσο με το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ = ΓΔ.
  • Αν το Δ βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος ΑΒ τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μεγαλύτερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ > ΓΔ.
  • Τέλος, αν το Δ βρίσκεται στην ημιευθεία ΑΒ, αλλά όχι ανάμεσα στα Α και Β, τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μικρότερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ < ΓΔ.
  • Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Ιδιότητες ισότητας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Ανακλαστική όπου ΑΒ=ΑΒ
Συμμετρική: αν ΑΒ=ΓΔ τότε ισχύει και ΓΔ=ΑΒ
Μεταβατική: αν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΔΕ τότε ισχύει και ΑΒ=ΔΕ
  • Κάθε σχέση για την οποία ισχύουν οι τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται σχέση ισοδυναμίας

Επίσης η σχέση ΑΒ > ΓΔ ή ΑΒ < ΓΔ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει και η εξής ιδιότητα: (Μεταβατική) αν ΑΒ>ΓΔ και ΓΔ>ΔΕ τότε και ΑΒ>ΔΕ. Σημειώνεται πως η σχέση της ανισότητας δεν είναι συμμετρική, δηλαδή δεν ισχύει ΑΒ>ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ.
Κάθε σχέση που είναι μεταβατική, αλλά όχι συμμετρική αλλά ούτε και ανακλαστική λέγεται σχέση γνήσιας διάταξης. Συνεπώς η σχέση της ανισότητας είναι σχέση γνήσιας διάταξης.

Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόσθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω ΑΒ, ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ΚΛ, ΛΜ τέτοια ώστε ΚΛ = ΑΒ και ΛΜ = ΓΔ. Τότε άθροισμα των ΑΒ και ΓΔ θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΜ και θα γράφουμε ΚΜ = ΑΒ + ΓΔ.

Για να βρεθεί το άθροισμα περισσοτέρων ευθυγράμμων τμημάτων, μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Αντιμεταθετική: δηλαδή α+β=β+α και
Προσεταιριστική: δηλαδή (α+β)+γ=α+(β+γ)
Επίσης υπάρχει και το ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα όπου α+0=0+α = α.
Γενικά η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων είναι πράξη μονότροπη και εσωτερική του συνόλου των τμημάτων και αποτελεί ένα συνολικό ευθύγραμμο τμήμα.

Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Αν για παράδειγμα ΑΒ > ΒΓ και ΓΔ > ΔΕ τότε ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΔΕ (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
Αν επίσης ΑΒ > ΒΓ τότε συνεπάγεται ότι ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΓΔ (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).

Αφαίρεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω ΑΒ > ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα ΚΛ = ΑΒ και ΚΜ = ΓΔ με το σημείο Μ να κείται στο εσωτερικό του ΚΛ. Τότε διαφορά του ΓΔ από το ΑΒ θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΛ και θα γράφουμε ΜΛ = ΑΒ - ΓΔ.

Πολλαπλασιασμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που γίνεται από το ΑΒ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ΑΓ = 3ΑΒ

  • Έστω ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα και ν ένας φυσικός αριθμός. Αν ΚΛ είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο \Kappa\Lambda=\underbrace{\mathrm{A}\Beta+\cdots+\mathrm{A}\Beta}_\nu, τότε λέμε ότι το ΚΛ είναι το ν-πλάσιο γινόμενο του ΑΒ και γράφουμε \Kappa\Lambda=\nu\cdot\mathrm{A}\Beta, καθώς και ότι το ΑΒ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του ΚΛ, και γράφουμε \mathrm{A}\Beta=\frac{1}{\nu}\Kappa\Lambda. Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι \Gamma\Delta=\mu\cdot\mathrm{A}\Beta τότε μπορούμε να γράψουμε \Gamma\Delta=\frac{\mu}{\nu}\Kappa\Lambda και το τμήμα ΓΔ ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού μ/ν με το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ.

Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Αν ισχύει \mathrm{A}\Beta=\frac{\mu}{\nu}\Kappa\Lambda, τότε λέμε ότι το μήκος του ΑΒ ως προς το ΚΛ είναι μ/ν, ή ότι η απόσταση του Α από το Β είναι μ/ν.

Διαίρεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ δι΄ ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ΑΒ, όπου και θα ισχύει η σχέση ΑΓ = ΑΒ/3

Δείτε ακόμη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]