Ψευδορθογώνιο τρίγωνο

Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ (με ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$) με το ύψος του $\mathrm {A\Delta }$.

Στην γεωμετρία, ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ ονομάζεται ψεύδο-ορθογώνιο (ή ψευδορθογώνιο) αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, δηλαδή ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$. Αυτά τα τρίγωνα ικανοποιούν κάποιες από τις μετρικές σχέσεις που ισχύουν στα ορθογώνια τρίγωνα και από εκεί παίρνουν το όνομά τους.

Σχέση με ορθογώνια τρίγωνα

Έστω ${\rm {A\Delta }}$ το ύψος του τριγώνου στην κορυφή ${\rm {A}}$. Αμα θεωρήσουμε το $\mathrm {B} '$ ως το συμμετρικό του $\mathrm {B}$ ως προς το $\mathrm {A} '$, τότε το τρίγωνο $\mathrm {AB'\Gamma }$ είναι ορθογώνιο με ορθή την $\mathrm {A}$. Επίσης έχει δύο πλευρές ίσες με το αρχικό τρίγωνο (την $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$ και την $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Gamma }$) και ένα ύψος κοινό (το $\mathrm {A\Delta }$).

Απόδειξη  

Το σχετικό ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma } '$ του ψεύδο-ορθογωνίου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Για να δούμε την ισότητα των πλευρών, από την κατασκευή το τρίγωνο $\mathrm {ABB'}$ είναι ισοσκελές και επομένως $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$.

Για να δούμε ότι η γωνία $\angle \mathrm {B'A\Gamma }$ είναι ορθή, παρατηρήστε ότι

$\angle \mathrm {BA\Delta } =90^{\circ }-\angle \mathrm {AB\Delta } =90^{\circ }-(180^{\circ }-{\hat {\mathrm {B} }})={\hat {\mathrm {B} }}-90^{\circ }={\hat {\mathrm {\Gamma } }},$

χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$. Επομένως,

${\begin{aligned}\angle \mathrm {B'A\Gamma } &=2\cdot \angle \mathrm {BA\Delta } +\angle \mathrm {BA\Gamma } \\&=2{\hat {\mathrm {\Gamma } }}+180^{\circ }-{\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}-({\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }})=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ },\end{aligned}}$

πάλι χρησιμοποιώντας ότι ${\hat {\mathrm {B} }}-{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω μετρικές σχέσεις προκύπτουν απευθείας από αυτές του ορθογωνίου $\mathrm {AB'\Gamma }$ (δείτε το σχετικό λήμμα για τις αποδείξεις), από την ισότητα $\mathrm {AB} =\mathrm {AB'}$, καθώς και από την κοινή $\mathrm {A\Gamma }$ και το κοινό ύψος $\mathrm {A\Delta }$:

• $\mathrm {A\Delta } ^{2}=\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {\Gamma \Delta }$,
• $\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } =\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta }$,
• ${\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } ^{2}}}$.

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο τρίγωνο