Θεώρημα διχοτόμου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά $\mathrm {B\Gamma }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.^[1]^:153-154^[2]^:191-193^[3]^:95-96^[4]^:327-331 Δηλαδή,

{\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma }$ ικανοποιεί

{\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.

Αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με θεώρημα Θαλή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\mathrm {B}$ στην $\mathrm {A\Delta }$ , που τέμνει την προέκταση της $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {E}$ .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι $\angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma }$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και $\angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta }$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

\angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},

και άρα το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές με $\mathrm {AE} =\mathrm {AB}$ .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {BE}$ , έχουμε ότι:

{\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}

.

Με τύπο για τα εμβαδά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα $\mathrm {A\Delta B}$ και $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ έχουν κοινό ύψος το $\mathrm {AH}$ . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

(\mathrm {A\Delta B} )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {AB} \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {AH} ,

και

(\mathrm {A\Delta \Gamma } )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH} .

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

{\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}.

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\mathrm {A\Delta _{A}}$ , $\mathrm {B\Delta _{B}}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}$ οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

{\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1.

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$ , $\beta =\mathrm {B\Gamma }$ και $\gamma =\mathrm {AB}$ , τότε

\mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}

και

\mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}

.

Απόδειξη

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

{\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\gamma }{\beta }},

και επίσης ισχύει ότι $\mathrm {B\Delta } +\mathrm {\Gamma \Delta } =\alpha$ . Επομένως,

\mathrm {B\Delta } +\mathrm {B\Delta } \cdot {\frac {\beta }{\gamma }}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}.

Αντίστοιχα και για την $\mathrm {\Gamma \Delta }$ .

Συντεταγμένες για το έγκεντρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ${\vec {\mathrm {A} }},{\vec {\mathrm {B} }},{\vec {\Gamma }}$ τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των $\mathrm {B\Delta _{A}}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta _{A}}$ , το σημείο $\Delta _{A}$ της διχοτόμου δίνεται από

{\vec {\mathrm {\Delta _{A}} }}={\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)

.

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου $\mathrm {A\Delta _{A}}$ δίνεται από

t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)

,

για $t\in [0,1]$ . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το

{\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)

.

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων $\mathrm {P}$ των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ , έχουν σταθερό λόγο $k$ . Δηλαδή,

k={\frac {\mathrm {PA} }{\mathrm {PB} }}.

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\mathrm {B}$ στην $\mathrm {A\Delta }$ , που τέμνει την προέκταση της $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {E}$ .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι $\angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma }$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και $\angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta }$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

\angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},

και άρα το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές με $\mathrm {AE} =\mathrm {AB}$ .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {BE}$ , έχουμε ότι:

{\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}

.

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι $\gamma =\mathrm {B\Delta '} -\mathrm {\Gamma \Delta '}$ , προκύπτει ότι

\mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}

και

\mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}

.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης.
↑ Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[1] Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης.

[N73-2] Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[K75-3] Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[T57-4] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[1]

[2]

[3]

[4]