Πολικό σύστημα συντεταγμένων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, το πολικό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η θέση οποιουδήποτε σημείου σε ένα επίπεδο καθορίζεται από την απόσταση του σημείου αυτού από ένα αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς και τη γωνία από μία αυθαίρετα επιλεγμένη κατεύθυνση.

Η απόσταση ενός σημείου από το αυθαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς (για το οποίο είθισται να επιλέγεται η αρχή των αξόνων) ονομάζεται ακτινική συντεταγμένη ή απλώς ακτίνα και συμβολίζεται συνήθως με το λατινικό r (από την αγγλική λέξη radius, «ακτίνα»), ενώ η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα του σημείου με μία αυθαίρετα επιλεγμένη διεύθυνση (συνήθως ένας από τους δύο κύριους άξονες συντεταγμένων) ονομάζεται γωνιακή συντεταγμένη ή αζιμούθιο και συμβολίζεται συνήθως με το ελληνικό πεζό γράμμα θ.

Μαθηματική περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το «πολικό πλέγμα» με ενδείξεις γωνιών σύμφωνα με την καθιερωμένη σύμβαση.

Όπως ακριβώς στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων κάθε σημείο με συντεταγμένες (x0,y0) αντιστοιχεί στην τομή των ευθειών x=x0 και y=y0, έτσι και στο πολικό σύστημα συντεταγμένων κάθε σημείο καθορίζεται μονοσήμαντα από την τομή ενός κύκλου σταθερής ακτίνας r=r0 και μίας ευθείας που καθορίζεται από μία σταθερή τιμή γωνίας θ=θ0.

Οι καμπύλες σταθερής ακτίνας r και γωνίας θ ορίζουν το λεγόμενο «πολικό πλέγμα», το οποίο θυμίζει ιστό αράχνης.

Συνήθεις συμβάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι συνηθισμένες συμβάσεις όσον αφορά την επιλογή του σταθερού σημείου αναφοράς και της σταθερής κατεύθυνσης από την οποία μετράται το αζιμούθιο είναι:

  • Η ακτινική συντεταγμένη ενός σημείου αναφέρεται ως προς την αρχή των αξόνων (0,0)
  • Το αζιμούθιο μετράται από τον θετικό οριζόντιο άξονα με φορά αντίθετη από εκείνη των δεικτών του ρολογιού

Το αζιμούθιο μετράται συνήθως σε ακτίνια αντί για μοίρες.

Σχέση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γεωμετρική σχέση μεταξύ καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων.

Η σχέση μεταξύ πολικών (r,θ) και καρτεσιανών (x,y) συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις μετατροπής:

 x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}
 r^2=x^2+y^2, \ \tan{\theta}=y/x

Διανυσματικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα διανύσματα θέσης \boldsymbol{\hat{r}} και \boldsymbol{\hat{\theta}} στις πολικές συντεταγμένες σχετίζονται με τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα \bold{\hat{x}} και \bold{\hat{y}} των καρτεσιανών σύμφωνα με τις παρακάτω γενικές εξισώσεις μετατροπής συντεταγμένων:

 \tilde{e}_{i}=\frac{\partial x_{j}}{\partial \tilde{x}_{i}}\ e_{j},\ \ \ i,j=1,2

όπου

 (e_1,e_2)\equiv (\bold{\hat{x}},\bold{\hat{y}}), \ (\tilde{e}_1,\tilde{e}_2)\equiv (\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}})
 (x_1,x_2)\equiv (x,y), \ (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)\equiv (r,\theta)

Η εφαρμογή των παραπάνω τύπων μας δίνουν τα παρακάτω αποτελέσματα:

 \begin{align} \boldsymbol{\hat{r}} &= \cos{\theta}\ \bold{\hat{x}}+\sin{\theta}\ \bold{\hat{y}} \\ \boldsymbol{\hat{\theta}} &= -\sin{\theta}\ \bold{\hat{x}}+\cos{\theta}\ \bold{\hat{y}} \end{align}

Είναι φανερό ότι τα διανύσματα \boldsymbol{\hat{r}} και \boldsymbol{\hat{\theta}} είναι ορθομοναδιαία (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάθετα μεταξύ τους). Επιπροσθέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταθερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίθεση με τα μοναδιαία διανύσματα \bold{\hat{x}} και \bold{\hat{y}} των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταθερά παντού στο επίπεδο. Μία άμεση μαθηματική συνέπεια του γεγονότος αυτού είναι ότι

 \frac{\partial \boldsymbol{\hat{r}}}{\partial\theta}=\boldsymbol{\hat{\theta}}, \ \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}}{\partial\theta}=-\boldsymbol{\hat{r}}

Τελεστής ανάδελτα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο τελεστής ανάδελτα δίνεται από τον τύπο:

 \boldsymbol{\nabla}(x,y)=\bold{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\bold{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y}

Με αφετηρία τις εξισώσεις μετατροπής από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, αποδεικνύεται ότι ο παραπάνω τελεστής δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από τον εξής τύπο:

 \boldsymbol{\nabla}(r,\theta)=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}

Λαπλασιανή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε πολικές συντεταγμένες, μπορούμε να βρούμε τη μορφή του Λαπλασιανού τελεστή στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:

 \nabla^2=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial^2\theta}

Τροχιές σωμάτων σε πολικές συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη Φυσική, η τροχιά ενός σώματος ως προς ένα επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να περιγραφτεί μαθηματικά από ένα διάνυσμα r που ονομάζεται ακτίνα θέσης ή επιβατική ακτίνα του σώματος. H ακτίνα θέσης, η ταχύτητα v και η επιτάχυνση a περιγράφονται από τα διανύσματα:

 \begin{align} \bold{r} &= r\ \boldsymbol{\hat{r}} \\ \bold{v} &= \dot{r}\ \boldsymbol{\hat{r}}+r\dot{\theta}\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ \bold{a} &= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\boldsymbol{\hat{r}}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} \end{align}

όπου η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς το χρόνο. Οι ακριβείς σχέσεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αποδεικνύονται εύκολα παραγωγίζοντας την ακτίνα θέσης ως προς το χρόνο.

Απειροστικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον απειροστικό λογισμό η αναπαράσταση μαθηματικών συναρτήσεων σε πολικές συντεταγμένες είναι πολλές φορές χρησιμότερη σε σχέση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Παρακάτω παρατίθενται μερικές από τις εφαρμογές των πολικών συντεταγμένων σε προβλήματα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.

Μήκος καμπύλης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν παραμετρήσουμε τη καμπύλη αυτή με μία αυθαίρετη παράμετρο λ. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες (σε δύο διαστάσεις) κάθε σημείου μίας καμπύλης είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ και ότι κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου, τότε το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης θα ισούται με

 L_{AB}=\int_{A}^{B}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx(\lambda)}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{dy(\lambda)}{d\lambda}\right)^2}\ d\lambda

όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Η παραπάνω σχέση ισχύει αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος, στην οποία περίπτωση σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

 ds^2=dx^2+dy^2 \ \ \

Σε πολικές συντεταγμένες το στοιχειώδες μήκος καμπύλης ισούται με

 ds^2=dr^2+r^2d\theta^2 \ \ \

Συνεπώς, αφού κάθε καμπύλη περιγράφεται από τη συνάρτηση r(θ) που μας δίνει την απόσταση r κάθε σημείου της καμπύλης από την αρχή των αξόνων για δεδομένη τιμή της γωνίας θ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο στο ολοκλήρωμα που μας δίνει το μήκος μεταξύ δύο σημείων της καμπύλης Α και Β τη γωνία θ. Άρα λοιπόν,

 L_{AB}=\int_{A}^{B}\sqrt{\left(\frac{dr(\theta)}{d\theta}\right)^2+[r(\theta)]^2}\ d\theta

Εμβαδόν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η περιοχή R που ορίζουν η καμπύλη r(θ) και οι ευθείες θ=a, θ=b προσεγγίζεται από έναν άπειρο αριθμό απειροστά μικρών τριγώνων.

Έστω μία καμπύλη που περιγράφεται από τη συνάρτηση r(θ). Το εμβαδόν του χωρίου R που ορίζουν η καμπύλη r(θ) και οι ευθείες θ=a, θ=b μπορεί να υπολογισθεί σε πολικές συντεταγμένες αν τμήσουμε το εν λόγω χωρίο σε έναν άπειρο αριθμό στοιχειωδών τριγώνων εμβαδού

 dA=\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta

Η παραπάνω έκφραση προκύπτει από τον βασικό τύπο που μας δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου (βάση×ύψος/2), αν αναλογισθούμε ότι η βάση του απειροστού τριγώνου ισούται με το μήκος τόξου που διαγράφει η επιβατική ακτίνα r(θ) κατά μία απειροστή γωνιακή μετατόπιση από θ σε θ+dθ, το οποίο ισούται με ds=rdθ. Το ύψος αντίστοιχα, αφού κατά την απειροστή γωνιακή μετατόπιση το μέτρο της επιβατική ακτίνας πρακτικά δεν έχει αλλάξει, θα ισούται με r.

Αν Α λοιπόν το συνολικό εμβαδόν που περικλείει το χωρίο R, τότε

 A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}r^2(\theta)d\theta

Μετρική στον Ευκλείδειο χώρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη διαφορική γεωμετρία, η μετρική του δισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου μπορεί να γραφτεί σε πολικές συντεταγμένες υπό μορφή ενός 2×2 πίνακα με τον ακόλουθο τρόπο:

 g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix}

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, και υιοθετώντας την σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν, μπορούμε να γράψουμε το τετράγωνο του στοιχείου μήκους στον δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο ως εξής:

 ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dr^2+r^2d\theta^2\ ,

όπου θεωρήσαμε ότι οι δείκτες άθροισης μ,ν παίρνουν τις τιμές 1,2 και

 (x^1,x^2)\equiv (r,\theta)

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). Απειροστικός λογισμός, Τόμος Ι. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
  • Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). Απειροστικός λογισμός, Τόμος ΙΙ. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Άλλα συστήματα συντεταγμένων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]