Ευκλείδειο Επίπεδο

Δισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Το επίπεδο θεωρείται συνήθως αρχική έννοια της γεωμετρίας, δηλαδή δεν ορίζεται με βάση άλλες στοιχειωδέστερες έννοιες, αν και σε κάποιες προσεγγίσεις της γεωμετρίας δεν είναι έτσι, όπως για παράδειγμα στην αναλυτική γεωμετρία όπου ορίζεται με βάση την έννοια του σημείου. Ιδιαίτερα όταν εργαζόμαστε στη δισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία το επίπεδο αναφέρεται σε ολόκληρο το χώρο.

Διαισθητικά η έννοια του επιπέδου μπορεί να περιγραφεί ως μια εντελώς ίσια (δηλ. χωρίς κυρτότητα ή κοιλότητα) και λεία (δηλ. χωρίς «βουνά» ή «κοιλάδες») επιφάνεια που έχει μηδενικό όγκο και καταλαμβάνει τις δύο μόνο διαστάσεις του τρισδιάστατου χώρου. Επεκτείνεται απεριόριστα προς τις δύο διευθύνσεις. Δύο παράλληλα επίπεδα έχουν την ιδιότητα ότι ποτέ δεν τέμνονται, όσο και αν τα επεκτείνουμε. Επιπλέον, δύο επίπεδα μπορούν να εφαρμόσουν ακριβώς, ακόμα και όταν το ένα κινείται κατά την έκταση του άλλου.

Μακροσκοπικές επιφάνειες ή αντικείμενα που συνήθως μοντελοποιούνται ή νοούνται ως επίπεδες επιφάνειες είναι οι τοίχοι, οι οροφές και τα πατώματα ενός απλού σπιτιού, η πάνω επιφάνεια ενός τραπεζιού, ο πίνακας μίας σχολικής αίθουσας.

Ιστορία

Δείτε επίσης: Ευκλείδεια γεωμετρία#Ιστορία

Τα βιβλία 1 έως 4 και 6 από τα Στοιχεία του Ευκλείδη ασχολούνται με τη δισδιάστατη γεωμετρία, αναπτύσσοντας έννοιες όπως η ομοιότητα των σχημάτων, το θεώρημα του Πυθαγόρα (Προτάση 47), η ισότητα των γωνιών και των εμβαδών, ο παραλληλισμός, το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο και οι τρεις περιπτώσεις στις οποίες τα τρίγωνα είναι «ίσα» (έχουν το ίδιο εμβαδόν), μεταξύ πολλών άλλων θεμάτων.

Αργότερα, το επίπεδο περιγράφηκε σε ένα λεγόμενο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ένα σύστημα συντεταγμένων που προσδιορίζει κάθε σημείο μοναδικά σε ένα επίπεδο με ένα ζεύγος αριθμητικών συντεταγμένων, οι οποίες είναι οι απόσταση με πρόσημο από το σημείο έως δύο σταθερές κάθετες κατευθυνόμενες γραμμές, μετρούμενες στην ίδια μονάδα μήκους. Κάθε γραμμή αναφοράς ονομάζεται άξονας συντεταγμένων ή απλά άξονας του συστήματος, και το σημείο όπου συναντώνται είναι η αρχή του, συνήθως στο ταξινομημένο ζεύγος (0, 0). Οι συντεταγμένες μπορούν επίσης να οριστούν ως οι θέσεις των κάθετων προβολών του σημείου στους δύο άξονες, εκφρασμένες ως αποστάσεις με πρόσημο από την αρχή.

Η ιδέα αυτού του συστήματος αναπτύχθηκε το 1637 σε γραπτά του Ντεκάρτ και ανεξάρτητα από τον Πιερ ντε Φερμά, αν και ο Φερμά εργάστηκε επίσης σε τρεις διαστάσεις και δεν δημοσίευσε την ανακάλυψη. Και οι δύο συγγραφείς χρησιμοποίησαν έναν μόνο άξονα (αποστίτωση) στις αναλύσεις τους, με τα μήκη των τεταγμένων να μετρώνται κατά μήκος γραμμών που δεν ήταν απαραίτητα κάθετες προς αυτόν τον άξονα. Η έννοια της χρήσης ενός ζεύγους σταθερών αξόνων εισήχθη αργότερα, μετά τη μετάφραση του έργου του Ντεκάρτ La Géométrie στα λατινικά το 1649 από τον Φρανς φαν Σχοτέν και τους μαθητές του. Αυτοί οι σχολιαστές εισήγαγαν διάφορες έννοιες προσπαθώντας να διευκρινίσουν τις ιδέες που περιείχε το έργο του Ντεκάρτ.

Αργότερα, το επίπεδο θεωρήθηκε ως ένα σώμα, όπου οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούσαν να πολλαπλασιαστούν και, εκτός από το 0, να διαιρεθούν. Αυτό ήταν γνωστό ως το μιγαδικό επίπεδο. Το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται μερικές φορές επίπεδο Αργάν, επειδή χρησιμοποιείται στα διαγράμματα Αργάν. Αυτά πήραν το όνομά τους από τον Ζαν-Ρομπέρ Αργκάν (1768–1822), αν και περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Δανό-Νορβηγό τοπογράφο και μαθηματικό Κάσπαρ Βέσελ (1745–1818). Τα διαγράμματα Αργκάν χρησιμοποιούνται συχνά για να απεικονίσουν τις θέσεις των πόλων και των μηδενικών μιας συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο.

Στη γεωμετρία

βλ. επίσης: Ευκλείδεια γεωμετρία

Συστήματα συντεταγμένων

Κύρια άρθρα: σύστημα συντεταγμένων και πολικό σύστημα συντεταγμένων

Στα μαθηματικά, η αναλυτική γεωμετρία (που ονομάζεται επίσης καρτεσιανή γεωμετρία) περιγράφει κάθε σημείο στο δισδιάστατο χώρο μέσω δύο συντεταγμένων. Δίνονται δύο κάθετοι άξονες συντεταγμένων οι οποίοι τέμνονται μεταξύ τους στην αρχή. Συνήθως ονομάζονται x και y. Σε σχέση με αυτούς τους άξονες, η θέση κάθε σημείου στο δισδιάστατο χώρο δίνεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, όπου κάθε αριθμός δίνει την απόσταση του σημείου αυτού από την αρχή μετρούμενη κατά μήκος του συγκεκριμένου άξονα, η οποία είναι ίση με την απόσταση του σημείου αυτού από τον άλλο άξονα.

Ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται ευρέως είναι το πολικό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο προσδιορίζει ένα σημείο με βάση την απόστασή του από την αρχή και τη γωνία του σε σχέση με μια δεξιά ακτίνα αναφοράς.

• 
  Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• 
  Πολικό σύστημα συντεταγμένων

Ενσωμάτωση στον τρισδιάστατο χώρο

Επίπεδη εξίσωση σε κανονική μορφή

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα επίπεδο είναι μια επίπεδη δισδιάστατη επιφάνεια που εκτείνεται επ' άπειρον. Τα ευκλείδεια επίπεδα εμφανίζονται συχνά ως υποχώροι του τρισδιάστατου χώρου $\mathbb {R} ^{3}$. Ένα πρωτότυπο παράδειγμα είναι ένας από τους τοίχους ενός δωματίου, απείρως εκτεταμένος και υποτιθέμενος απειροελάχιστα λεπτός. Ενώ ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών $\mathbb {R} ^{2}$ αρκεί για να περιγράψει τα σημεία σε ένα επίπεδο, η σχέση με τα σημεία εκτός επιπέδου απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή για την ενσωμάτωσή τους στον περιβάλλοντα χώρο $\mathbb {R} ^{3}$.

Περιγραφή του επιπέδου

Αξιωματική γεωμετρία

Σχεδόν σε κάθε γεωμετρία ισχύουν τα εξής που αφορούν το επίπεδο:

• Αν δύο σημεία που ανήκουν σε ένα επίπεδο ορίζουν μία ευθεία, τότε αυτή ανήκει εξ ολοκλήρου στο επίπεδο.
• Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται μοναδικό επίπεδο.
• Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο ταυτίζονται, τέμνονται ή είναι παράλληλες. Δε μπορούν να είναι ασύμβατες.
• Δύο επίπεδα που έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ταυτίζονται ή τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας.
• Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε τρεις περιοχές, ή ισοδύναμα δύο σημεία που δεν ανήκουν στο επίπεδο βρίσκονται είτε στο ίδιο μέρος του επιπέδου ή εκατέρωθέν του.
• Ένα επίπεδο έχει τρία τουλάχιστον σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ένα σημείο έξω από το επίπεδο.
• Ένα επίπεδο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα.

Αναλυτική γεωμετρία

Επίπεδο p με κάθετα σε αυτό διανύσματα τα n1 και n2.

Σε τρισδιάστατο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς ένα επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως ο γεωμετρικός χώρος που αντιστοιχεί σε αυτήν τη συνθήκη:

$(\mathrm {P} -\Pi )\delta =0$

Όπου Ρ το εφαρμοστό διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου του χώρου, Π το εφαρμοστό διάνυσμα θέσης ενός σημείου του χώρου και δ ένα διάνυσμα που λέγεται κάθετο διάνυσμα του επιπέδου. Οι αρχές των εφαρμοστών διανυσμάτων είναι η αρχή των αξόνων.

Το διάνυσμα Ρ-Π είναι ένα διάνυσμα του οποίου και τα δύο σημεία ανήκουν στο οριζόμενο επίπεδο, άρα ανήκει εξολοκλήρου στο επίπεδο. Από τη σχέση προκύπτει ότι αυτό το διάνυσμα και το δ είναι κάθετα μεταξύ τους, άρα το δ δίνει στο επίπεδο έναν συγκεκριμένο προσανατολισμό. Ο προσδιορισμός του επιπέδου ολοκληρώνεται με το εφαρμοστό διάνυσμα Π, το οποίο τοποθετεί το ελεύθερο επίπεδο σε συγκεκριμένη θέση. Το Π ανήκει στο επίπεδο, αφού $\Pi -\Pi ={\vec {0}}$

Γραμμική άλγεβρα

Το επίπεδο είναι η λύση γραμμικών εξισώσεων της μορφής αχ+βψ+γω=0, όπου α, β, γ παράμετροι τέτοιες, ώστε |α|+|β|+|γ|$\neq$0, δηλαδή να μην είναι όλες μηδέν. Αν σε μία εξίσωση αυτής της μορφής είναι α=β=γ=0, τότε η λύση του συστήματος είναι όλος ο τρισδιάστατος χώρος.

Εσωτερικό γινόμενο, γωνία και μήκος

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων A = [A₁, A₂] και B = [B₁, B₂] ορίζεται ως εξής:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}$

Ένα διάνυσμα μπορεί να απεικονιστεί ως βέλος. Το μέγεθός του είναι το μήκος του και η κατεύθυνσή του είναι η κατεύθυνση προς την οποία δείχνει το βέλος. Το μέγεθος ενός διανύσματος A συμβολίζεται ως $\|\mathbf {A} \|$. Από αυτή την άποψη, το τετραγωνικό γινόμενο δύο ευκλείδειων διανυσμάτων A και B ορίζεται ως

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,$

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ A και B.

Το τετραγωνικό γινόμενο ενός διανύσματος A με τον εαυτό του είναι

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},$

το οποίο δίνει

$\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},$

τον τύπο για το ευκλείδειο μήκος του διανύσματος.

Βιβλιογραφία

• Wylie, C. R. (12 Σεπτεμβρίου 2011). Introduction to Projective Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1. 
• Martin, G. E. (6 Δεκεμβρίου 2012). The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5725-7. 
• Meserve, Bruce E. (8 Δεκεμβρίου 2014). Fundamental Concepts of Geometry. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15226-4. 
• Behnke, Heinrich· Bachmann, F. (1974). Fundamentals of Mathematics: Geometry. MIT Press. ISBN 978-0-262-02069-5. 
• Row, Don· Reid, Talmage James (2012). Geometry, Perspective Drawing, and Mechanisms. World Scientific. ISBN 978-981-4343-82-4. 
• Albert, Abraham Adrian· Sandler, Reuben (18 Φεβρουαρίου 2015). An Introduction to Finite Projective Planes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-78994-1. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο