Ημικύκλιο

Ημικύκλιο με κέντρο το ${\rm {O}}$ και διάμετρο ${\rm {AB}}$.

Μισός κυκλικός δίσκος

Στην γεωμετρία, ένα ημικύκλιο (ή ημιπεριφέρεια) είναι ένα τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί σε μία επίκεντρη γωνία 180° (ισοδύναμα, π ακτίνια ή μισή στροφή). Κέντρο του ημικυκλίου λέγεται το κέντρο του αντίστοιχου κύκλου.

Σε παλιότερα βιβλία, ο όρος ημικύκλιο αναφέρεται στον κυκλικό τομέα που αντιστοιχεί σε μία επίκεντρη γωνία 180°, δηλαδή σε έναν μισό κυκλικό δίσκο ή ένα ημικύκλιο μαζί με την διάμετρο και τα εσωτερικά τους σημεία.

Ιδιότητες

Αν το $\mathrm {B\Gamma }$ είναι διάμετρος, τότε η γωνία ${\widehat {\rm {BA\Gamma }}}$ είναι ορθή.

• Κάθε διάμετρος ενός κύκλου τον χωρίζει σε δύο ημικύκλια.
• Το ημικύκλιο έχει έναν άξονα συμμετρίας.
• (Γωνία εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο) Κάθε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ένα ημικύκλιο με τις δύο κορυφές στα άκρα του ημικυκλίου και την τρίτη κορυφή σε ένα άλλο σημείο του, είναι ορθογώνιο, με την ορθή γωνία στην τρίτη κορυφή.
• Όλες οι ευθείες που τέμνονται κάθετα με την ημιπεριφέρεια διέρχονται από το κέντρο του κύκλου που περιέχει το δεδομένο ημικύκλιο.

Σχετικά με την ορολογία

Ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων (ορ. 15 -16) αναφέρει:

"Ο κύκλος είναι ένα επίπεδο σχήμα που περικλείεται από μια γραμμή (που λέγεται περιφέρεια) για την οποία υπάρχει ένα σημείο μέσα στο σχήμα από όπου κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα με το ένα άκρο στο σημείο αυτό και το άλλο άκρο στην περιφέρεια είναι ίσα. Αυτό το σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου."

Δηλαδή, ο Ευκλείδης ταυτίζει τον κύκλο με τον κυκλικό δίσκο. Για αυτό το λόγο εμφανίζεται ο όρος περιφέρεια. Με άλλα λόγια οι λέξεις περιφέρεια και κύκλος περιέγραφαν παλαιότερα, αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε κύκλος και κυκλικός δίσκος αντίστοιχα.

Επίσης ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων (ορ. 17) αναφέρει:

"Ημικύκλιο είναι το περιεχόμενο σχήμα ανάμεσα στη διάμετρο και στο τμήμα της περιφέρειας που αποκόπτει. Ονομάζουμε κέντρο του ημικυκλίου το κέντρο του κύκλου."

Συνεπώς οι λέξεις ημιπεριφέρεια και ημικύκλιο περιέγραφαν παλαιότερα, αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε ημικύκλιο και ημικυκλικός δίσκος αντίστοιχα.

Αναλυτική γεωμετρία

Η εξίσωση ενός κυρτού ημικυκλίου με διάμετρο παράλληλη στον άξονα $xx'$, κέντρο $(x_{0},y_{0})$ και ακτίνα $\rho$ είναι

$y=y_{0}+{\sqrt {\rho ^{2}-(x-x_{0})^{2}}}$.

Αν το ημικύκλιο είναι κοίλο, η εξίσωση γίνεται

$y=y_{0}-{\sqrt {\rho ^{2}-(x-x_{0})^{2}}}$.

Εφαρμογές

Ένα ημικύκλιο με τους αριθμητικούς και γεωμετρικούς μέσους των $a$ και $b$.

Ένα ημικύκλιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή των αριθμητικών και γεωμετρικών μέσων χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Για ένα ημικύκλιο με διάμετρο $a+b$, το μήκος της ακτίνας του είναι ο αριθμητικός μέσος των $a$ και $b$ (αφού η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου).

Ο γεωμετρικός μέσος μπορεί να βρεθεί διαιρώντας τη διάμετρο σε δύο τμήματα μήκους $a$ και $b$ και στη συνέχεια συνδέοντας το κοινό τους σημείο με το ημικύκλιο, χρησιμοποιώντας ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στη διάμετρο. Το μήκος του τμήματος που προκύπτει είναι ίσο με τον γεωμετρικό τους μέσο. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα σε τρία όμοια ορθογώνια τρίγωνα, καθένα από τα οποία έχει ως κορυφές το σημείο όπου η κάθετος αγγίζει το ημικύκλιο και τα δύο ακριανά σημεία των τμημάτων των μηκών $a$ και $b$.

Η κατασκευή του γεωμετρικού μέσου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψει οποιοδήποτε ορθογώνιο σε ένα τετράγωνο του ίδιου εμβαδού. Το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι ο γεωμετρικός μέσος των μηκών των πλευρών του ορθογωνίου. Γενικότερα, χρησιμοποιείται ως λήμμα σε μια γενική μέθοδο για τη μετατροπή οποιουδήποτε πολυγωνικού σχήματος σε ένα όμοιο αντίγραφο του εαυτού του με το εμβαδόν οποιουδήποτε άλλου δεδομένου πολυγωνικού σχήματος.

Σχετικά σχήματα

Άρβυλος του Αρχιμήδη

Μία άρβυλος (γκρι περιοχή)

Η άρβυλος είναι μια περιοχή στο επίπεδο που οριοθετείται από τρία ημικύκλια που συνδέονται στις άκρες τους, όλα στην ίδια πλευρά μιας ευθείας που περιέχει τις διαμέτρους τους.

Μηνίσκοι του Ιπποκράτη

Το άθροισμα του εμβαδού των μηνίσκων (γκρί) ισούται με το εμβαδό του ορθωγώνιου τριγώνου (πορτοκαλί).

Οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη είναι δύο μηνίσκοι που σχηματίζονται από τα ημικύκλια στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Οι μηνίσκοι παίρνουν το όνομα του μαθηματικού Ιπποκράτη του Χίου (450 π.Χ.), ο οποίος απέδειξε ότι το εμβαδό τους είναι ίσο με το εμβαδό του τριγώνου.

Σαλινόν

Το γραμμοσκιασμένο σχήμα που περικλείεται από τα τέσσερα ημικύκλια είναι ένα σαλινόν'.

Το σαλινόν είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από τέσσερα ημικύκλια. Η πρώτη αναφορά στο σαλινόν, εμφανίζεται στο Λήμμα 14 στο Βιβλίο των Λημμάτων, έργο που αποδίδεται στον Αρχιμήδη.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Αμφιθέατρο