Μπάλα (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Στον Ευκλείδειο χώρο, μια μπάλα είναι ο όγκος που οριοθετείται από μια σφαίρα

Στα μαθηματικά, μια μπάλα είναι ο χώρος που οριοθετείται από μια σφαίρα. Μπορεί να είναι μια κλειστή μπάλα (συμπεριλαμβανομένων των οριακών σημείων που αποτελούν τη σφαίρα) ή μια ανοιχτή μπάλα (εξαιρουμένων αυτών).

Αυτές οι έννοιες ορίζονται όχι μόνο στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο αλλά και για τις κατώτερες και υψηλότερες διαστάσεις και για τους μετρικούς χώρους εν γένει. Μια μπάλα διάστασης n ονομάζεται n-μπάλα και οριοθετείται από μια (n − 1)-σφαίρα. Έτσι, για παράδειγμα, μια μπάλα στο ευκλείδειο επίπεδο είναι ένας δίσκος, η περιοχή που οριοθετείται από έναν κύκλο. Στο τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, μια μπάλα θεωρείται ότι είναι ο όγκος που οριοθετείται από μια δισδιάστατη σφαίρα. Σε ένα μονοδιάστατο χώρο, μια μπάλα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Σε άλλα πλαίσια, όπως στην Ευκλείδεια γεωμετρία και στην καθημερινή χρήση, η σφαίρα χρησιμοποιείται μερικές φορές για να σημαίνει μπάλα.

Στο ευκλείδειο χώρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο ευκλείδειο n-διάστατο χώρο, μία (ανοιχτή) n-μπαλα ακτίνας r και κέντρου x είναι το σύνολο όλων των σημείων με απόσταση από το x, μικρότερη του r. Μια κλειστή n-μπάλα ακτίνας r είναι το σύνολο όλων των σημείων με απόσταση από το x, μικρότερη ή ίση του r .

Στον ευκλείδειο n-διάστατο χώρο, κάθε μπάλα είναι οριοθετημένη από μια υπερσφαίρα Η μπάλα είναι ένα οριοθετημένο διάστημα όταν n = 1, είναι ένας δίσκος που οριοθετείται από έναν κύκλο όταν n = 2, και οριοθετείται από μια σφαίρα όταν n = 3.

Γενικά σε μετρικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (M, d) ένας μετρικός χώρος, δηλαδή ένα σύνολο M με μια μετρική (συνάρτηση απόστασης) d. Η ανοικτή (μετρική) σφαίρα με ακτίνα r > 0 με κέντρο ένα σημείο p στο M, συνήθως συμβολίζεται με Br(p) ή B(p; r), ορίζεται ως