Υπερκύβος

Προοπτικές προβολές

Κύβος (3-κύβος)	Τεσσεράκτιο (4-κύβος)

Στη γεωμετρία, ο υπερκύβος ν-διαστάσεων είναι ανάλογος ενός τετραγώνου (για ν = 2) ή κύβου (για ν = 3), κτλ., και είναι επίσης ένα ορθότοπο. Πρόκειται για ένα συμπαγές πολύτοπο ο σκελετός του οποίου αποτελείται από ιδίου μήκους παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα τα οποία εδράζουν σε όλες τις διαστάσεις του χώρου που ανήκει. Η μεγαλύτερη διαγώνιος που εγγράφεται εντός ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του ν.

Ένας ν-διαστάσεων υπερκύβος καλείται επίσης ν-κύβος. Ο όρος «πολύτοπο μέτρο» που χρησιμοποιείται επίσης, κυρίως στην εργασία του H.S.M. Coxeter και αρχικά από τον Elte, το 1912, έχει πλέον αντικατασταθεί.

Ο Υπερκύβος μονάδας είναι ένα υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά ο υπερκύβος, οι κορυφές του οποίου (ή γωνίες) είναι 2^ν στο R^ν με συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1, λέγεται Μονάδα υπερκύβου.

Κατασκευή

Ένα διάγραμμα που δείχνει πώς να δημιουργήσετε ένα Τεσσεράκτιο από ένα σημείο.

0 – Ένα σημείο είναι ένας υπερκύβος σε χώρο μηδενικών διαστάσεων.

1 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το σημείο κατά μία μονάδα μήκους, τότε θα σαρώσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο είναι ένας υπερκύβος μονάδας σε χώρο μίας διαστάσεως.

2 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα (όλο το μήκος του) προς μια κάθετη κατεύθυνση σε σχέση με αυτό και απόσταση ίση με το μήκος του, τότε θα σαρώσει ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο.

3 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτό το τετράγωνο κατά μία μονάδα μήκους σε κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που βρίσκεται, θα δημιουργήσει έναν 3-διαστάσεων κύβο.

4 – Αν κάποιος μετακινήσει αυτόν τον κύβο κατά μία μονάδα μήκους στην τέταρτη διάσταση, τότε θα δημιουργήσει ομοίως έναν 4-διαστάσεων υπερκύβο, που ονομάζεται Τεσσεράκτιο.

Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων και αυτή καθ' εαυτού η διαδικασία των σαρώσεων είναι γνωστή στα μαθηματικά ως ένα άθροισμα Minkowski: ο δ διαστάσεων υπερκύβος είναι το άθροισμα Minkowski των δ αμοιβαίων ευθυγράμμων τμημάτων που είναι κάθετα σε μία μονάδα μήκους, και κατά συνέπεια αποτελεί παράδειγμα ενός ζωνότοπου.

Κατά την τοπολογία ο μονοδιάστατος σκελετός ενός υπερκύβου είναι ένα γράφημα του υπερκύβου.

Συντεταγμένες

Μια μονάδα υπερκύβου ν διαστάσεων είναι επίσης ένα κυρτό περίβλημα όλων των σημείων του όπως αυτά μετατέθηκαν στις καρτεσιανές συντεταγμένες:

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)$. Έχει μήκος ακμής 1 και ν-διάστατο όγκο ίσο με 1.

Ένας ν διαστάσεων υπερκύβος θεωρείται επίσης ως το κυρτό περίβλημα όλων των μεταθέσεων:

$(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$. Έχει αντίστοιχα μήκος ακμής 2, και ν-διάστατο όγκο ίσο με 2^ν.

Αυτή η μορφή επιλέγεται συχνά λόγω της ευκολίας που έχει στο να καταγράψει τις συντεταγμένες του.

Σχετικές οικογένειες πολυτόπων

Οι υπερκύβοι είναι μία από τις λίγες οικογένειες κανονικών πολυτόπων που ισχύουν για οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Άλλες οικογένειες υπερκύβων είναι:

• η α_ν (Πλέγμα)
• η β_ν (Υπεροκτάεδρο)
• η γ_ν (Μετατόπιση)
• η δ_ν (Υπερκυβική κυψέλη)

Μια άλλη σχετική οικογένεια ημικανονικών και ομοιόμορφων πολυτόπων είναι των Ημιυπερκύβων, οι οποίοι είναι κατασκευασμένοι από υπερκύβους με εναλλακτική διαγραφή των κορυφών και πλέγμα των έδρων στα κενά, επισημαίνεται ως ηγ_ν.

Στοιχεία

Κάθε ν-κύβος, όπου ν > 0, αποτελείται από στοιχεία ή ν-κύβους μιας κατώτερης διάστασης, σχετικής με την (ν-1) διαστάσεων επιφάνεια επί του υπερκύβου γονέα. Η κάθε πλευρά του υπερκύβου γονέα είναι και ένα στοιχείο της (ν-1) διάστασής του. Ένας υπερκύβος ν διαστάσεων έχει 2ν πλευρές. Δηλαδή, μία 1-διαστάσεων γραμμή έχει 2 άκρα (σημεία 0-διαστάσεων), ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο έχει 4 πλευρές (γραμμές 1-διαστάσεων), ένας 3-διαστάσεων κύβος έχει 6 έδρες (τετράγωνα 2-διαστάσεων), ένα 4-διαστάσεων τεσσεράκτιο έχει 8 κελιά (κύβους 3-διαστάσεων), κοκ. ο αριθμός των κορυφών ενός ν-κύβου είναι 2^ν (για παράδειγμα, ένας κύβος έχει 2³ = 8 κορυφές).

Ένας απλός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των (ν-2)-επιφανειών ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι: 2ν² - 2ν

Στοιχεία Υπερκύβου $E_{m,n}\!$

n	γ	κύβος	m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	γn	n-κύβος	Ονομασίες Schläfli Coxeter-Dynkin	Κορυφές	Πλευρές	Επιφάνειες	Κελλιά	4-Επιφάνειες	5-Επιφάνειες	6-Επιφάνειες	7-Επιφάνειες	8-Επιφάνειες	9-Επιφάνειες	10-Επιφάνειες
0	γ0	0-κύβος	Σημείο -	1
1	γ1	1-κύβος	Ευθύγραμμο τμήμα {}	2	1
2	γ2	2-κύβος	Τετράγωνο {4}	4	4	1
3	γ3	3-κύβος	Κύβος Εξάεδρο {4,3}	8	12	6	1
4	γ4	4-κύβος	Τεσσεράκτιο Οκτάχωρο {4,3,3}	16	32	24	8	1
5	γ5	5-κύβος	Πεντεράκτιο Δεκάτερο {4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	γ6	6-κύβος	Εξεράκτιο Δωδεκάπετο {4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	γ7	7-κύβος	Επτεράκτιο Τετραδικό 7-τοπο {4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	γ8	8-κύβος	Οκτεράκτιο Εξαδικό 8-τοπο {4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	γ9	9-κύβος	Εννεράκτιο Οκταδικό 9-τοπο {4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	γ10	10-κύβος	Δεκεράκτιο Εικοσαδικό 10-τοπο {4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Γραφικά

Ένας ν-κύβος μπορεί να προβληθεί μέσα σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο πολύγωνο με παραποίηση της ορθής προβολής, όπως παρουσιάζεται παρακάτω (από ευθύγραμμο τμήμα σε 12-κύβος).

Ορθογραφικές προβολές του Πέτρι πολυγώνου

Ευθύγραμμο τμήμα	Τετράγωνο	Κύβος	4-κύβος (Τεσσεράκτιο)
5-κύβος (Πεντεράκτιο)	6-κύβος (Εξεράκτιο)	7-κύβος (Επτεράκτιο)	8-κύβος (Οκτεράκτιο)
9-κύβος (Εννεράκτιο)	10-κύβος (Δεκεράκτιο)	11-κύβος (Ενδεκεράκτιο)	12-κύβος (Δωδεκεράκτιο)

Περαιτέρω ανάγνωση

• Υπερσφαίρα
• Πλέγμα

Πηγές

• Bowen, J. P. (April 1982). «Hypercubes». Practical Computing 5 (4): 97–99. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-06-30. https://web.archive.org/web/20080630081518/http://www.jpbowen.com/publications/ndcubes.html. Ανακτήθηκε στις 2013-11-03. 
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Dover. σελ. 123. ISBN 0-486-61480-8.  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
• Hill, Frederick J.· Peterson, Gerald R. (1981). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. NY: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9.  Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Hypercube" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Hypercube graphs" από το MathWorld.
• www.4d-screen.de: Rotation of 4D – 7D-Cube.
• Rotating a Hypercube by Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
• Stereoscopic Animated Hypercube.
• Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads.