Εξάγωνο

Ένα κυρτό εξάγωνο.

Ένα μη-κυρτό εξάγωνο.

Ένα μη-απλό εξάγωνο.

Στη γεωμετρία, το εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με έξι κορυφές και έξι πλευρές.

Ένα εξάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό εξάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $720^{\circ }$ (ή $4\pi$ ακτίνια).
• Κάθε εξάγωνο έχει 12 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό εξάγωνο

Κυρτό κανονικό εξάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	6, ισόπλευρο
Γωνίες	6, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$9$
Σύμβολο Schläfli	$\{6\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	6
Περιστροφική συμμετρία	έκτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$120^{\circ }$ (ή $2/3\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=6\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \lambda }$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R=\lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	ισόπλευρο τρίγωνο, κανονικό δωδεκάγωνο
Στερεά σχήματα	κόλουρο τετράεδρο, κόλουρο οκτάεδρο, κόλουρο εικοσάεδρο

Ιδιότητες

Για το κανονικό εξάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με $120^{\circ }$ (ή $2\pi /3$ ακτίνια).
• Έχει έξι άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία έκτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του εξαγώνου είναι $\{6\}$.

Οι έξι άξονες συμμετρίας ενός κανονικού εξαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του εξαγώνου.

Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με την πλευρά του εξαγώνου

${\begin{aligned}R&=\lambda .\end{aligned}}$

Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \lambda \approx 0{,}866025\cdot \lambda .\end{aligned}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το μέσο ${\rm {M}}$ της πλευράς ${\rm {AB}}$. Αν ${\rm {O}}$ είναι το κέντρο του πολυγώνου, τότε ${\rm {OM}}$ είναι η μεσοκάθετος της ${\rm {AB}}$, άρα και διχοτόμος της ${\widehat {\rm {AOB}}}$. Συνεπώς, ${\textstyle {\rm {{\widehat {AOM}}={\frac {\pi }{6}}}}}$ και από το ορθογώνιο ${\rm {AOM}}$

$\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {\lambda /2}{R}}\Rightarrow R={\frac {\lambda }{2}}\cdot \csc {\frac {\pi }{6}}=\lambda$,

$\tan {\frac {\pi }{6}}={\frac {\lambda /2}{r}}\Rightarrow r={\frac {\lambda }{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \lambda .$.

Τα δύο είδη διαγωνίων στο κανονικό εξάγωνο.

Το κανονικό εξάγωνο έχει

• 6 μικρές διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{1}&=2\cdot r\\&={\sqrt {3}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}732051\cdot \lambda ,\end{aligned}}$

• 3 μεγάλες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{2}&=2\cdot R=2\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Το πλάτος (μπλε) και το ύψος (πράσινο) ενός κανονικού εξαγώνου.

Το πλάτος του είναι

$w=2\cdot r$.

Το ύψος του είναι

$h=2\cdot R$.

(Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ ενός κανονικού εξαγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{6}$ από τις πλευρές του εξαγώνου είναι σταθερό, δηλαδή

$d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{6}=6\cdot r$,

όπου $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=3\cdot \lambda \cdot r$.

Απόδειξη  

Διαχωρισμός κανονικού εξαγώνου σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Το κανονικό εξάγωνο χωρίζεται σε $6$ ισοσκελή τρίγωνα με βάση ίση με $\lambda$ και ύψος $r$. Επομένως το εμβαδόν του εξαγώνου είναι

${\rm {E}}=6\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \lambda \cdot r=3\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\cdot \lambda ^{2}\approx 2{,}598076\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας ότι $r={\frac {1}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{6}}\cdot \lambda$ και $\cot {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}$,

άρα ${\rm {E}}=3\cdot \lambda \cdot r={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\cdot \lambda ^{2}$.

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=2{\sqrt {3}}\cdot r^{2}\approx 3{,}464102\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =6\cdot \lambda$.

Θεωρήματα

Το άθροισμα των πράσινων αποστάσεων ισούται με αυτό των μπλε.

Έστω ένα κανονικό εξάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ και ${\rm {P}}$ είναι οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου μεταξύ των ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$, τότε ισχύει

${\rm {PE+PZ=PA+PB+P\Gamma +P\Delta }}$.

Απόδειξη  

Το άθροισμα των πράσινων αποστάσεων ισούται με αυτό των μπλε.

Παρατηρείστε ότι το τρίγωνο ${\rm {A\Gamma E}}$ είναι ισόπλευρο (καθώς όλες του οι πλευρές είναι ίσες με $d_{1}$). Επομένως, από το Θεώρημα φαν Σχόοτεν ισχύει ότι

${\rm {PE=PA+P\Gamma }}$.

Αντίστοιχα, από το ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {B\Delta Z}}$, ισχύει ότι

${\rm {PZ=PB+P\Delta }}$.

Αθροίζοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε την ζητούμενη.$\quad \square$

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Στην Πρόταση 15 του 4ου Βιβλίου στα Στοιχεία, ο Ευκλείδης περιγράφει την εξής κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Η κατασκευή βήμα-βήμα ενός κανονικού εξαγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Κυκλικό εξάγωνο

Κυκλικό εξάγωνο ονομάζεται οποιοδήποτε εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, δηλαδή υπάρχει κύκλος στον οποίο ανήκουν όλες του οι κορυφές.

• Αν οι διαδοχικές πλευρές ενός τέτοιου εξαγώνου έχουν μήκη α, β, γ, δ, ε, ζ, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του αν και μόνο αν αγε = βδζ.
• (Εξάγωνο Τάκερ) Σε ένα τρίγωνο τα έξι σημεία τομής τριών αντιπαράλληλων ευθυγράμμων τμημάτων προς τις πλευρές του τριγώνου τα οποία έχουν ίσο μήκος, δημιουργούν ένα κυκλικό εξάγωνο, το εξάγωνο Τάκερ. Ο κύκλος που διέρχεται από αυτά τα σημεία λέγεται κύκλος Τάκερ.
  • Ειδικές περιπτώσεις κύκλων Τάκερ είναι πρώτος κύκλος Λεμουάν, ο δεύτερος κύκλος Λεμουάν και ο κύκλος Τέιλορ.

Εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή

(Θεώρημα του Πασκάλ) Έστω ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) και προεκτείνουμε τα ζεύγη των απέναντι πλευρών του μέχρι που να συναντηθούν. Τότε, τα τρία αυτά σημεία τομής θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, η λεγόμενη «γραμμή Πασκάλ» του εξαγώνου.

• • Ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Πασκάλ είναι το θεώρημα εξαγώνου του Πάππου όπου τα σημεία του εξαγώνου χωρίζονται σε δύο ομάδες συγγραμμικών σημείων.

Εξάγωνο εφαπτόμενο σε κωνική τομή

(Θεώρημα του Brianchon) Έστω ένα εξάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ που σχηματίζεται από έξι ευθείες εφαπτόμενες σε μία κωνική τομή, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του ${\rm {A\Delta }}$, ${\rm {BE}}$ και ${\rm {\Gamma Z}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Σχετικά σχήματα

Επιπεδομετρία

• 
  Κανονικό εξάγωνο σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο.
• 
  Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα.
• 
  Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε 1 ισόπλευρο τρίγωνο και 3 ισοσκελή.
• 
  Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε τρεις ρόμβους.
• 
  Χωρισμός κανονικού εξαγώνου σε δύο ισοσκελή τραπέζια.
• 
  Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.

Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να δημιουργηθεί ως ένα κόλουρο ισόπλευρο τρίγωνο, με σύμβολο Σλέφλι t{3}. Αυτή η μορφή έχει συμμετρία μόνο D3. Σε αυτό το σχήμα οι παραμένουσες πλευρές του αρχικού τριγώνου είναι γαλάζιες, ενώ οι νέες είναι κόκκινες.

Το εξάγραμμα μπορεί να δημιουργηθεί με την προέκταση των 6 πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου μέχρι που να συναντηθούν σε 6 νέες κορυφές.

Ενα κοίλο εξάγωνο

Ενα «αυτοτεμνόμενο» εξάγωνο (αστεροειδές πολύγωνο)

Μη επίπεδο κανονικό εξάγωνο αποτελούμενο από τις ακμές ενός κύβου

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό εξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω κανονικά και ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές:

(3D)		(5D)
κύβος	οκτάεδρο	5-simplex	ανορθωμένο 5-simplex	διανορθωμένο 5-simplex

Πολύεδρα με εξαγωνικές έδρες

Δεν υπάρχει πλατωνικό στερεό με έδρες κανονικά εξάγωνα, επειδή ακριβώς τα εξάγωνα καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, μην αφήνοντας «χώρο» για το «δίπλωμά» τους. Τα αρχιμήδεια στερεά με κάποιες έδρες τους εξαγωνικές είναι το κόλουρο τετράεδρο, το κόλουρο οκτάεδρο, το κόλουρο εικοσάεδρο (γνωστό από τη μπάλα του ποδοσφαίρου), το κόλουρο κυβοκτάεδρο και το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Αρχιμήδεια στερεά
κόλουρο τετράεδρο	κόλουρο οκτάεδρο	κόλουρο εικοσάεδρο	κόλουρο κυβοκτάεδρο	κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο

Υπάρχουν επίσης 9 στερεά Τζόνσον:

• τριγωνικός θόλος, επιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, γυροεπιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, προσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, παραδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, μεταδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, τριπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, προσαυξημένο κόλουρο τετράεδρο και τριγωνική σφηνοροτόντα

Πρισμοειδή			Λοιπά συμμετρικά πολύεδρα
εξαγωνικό πρίσμα	εξαγωνικό αντιπρίσμα	εξαγωνική πυραμίδα	κόλουρο τριάκις τετράεδρο	κόλουρο ρομβικό δωδεκάεδρο	κόλουρο ρομβικό τριακοντάεδρο

Πλακοστρώσεις με εξάγωνα

Το κανονικό εξάγωνο καλύπτει το επίπεδο έχοντας 3 εξάγωνα γύρω από κάθε κορυφή.

Η ρομβοειδής κάλυψη χρησιμοποιεί δύο χρώματα εξαγώνων.

Μια δεύτερη εξαγωνική κάλυψη του επιπέδου με τρία χρώματα εξαγώνων.

Τριεξαγωνική κάλυψη

Τριεξαγωνική κάλυψη

Ρομβοτριεξαγωνική κάλυψη

Κόλουρη τριεξαγωνική κάλυψη

Εξάγωνα στη φύση

• 
  Κερήθρα από κυψέλη μελισσών
• 
  Τα σχήματα στο καύκαλο μιας χελώνας
• 
  Εξαγωνικός σχηματισμός νεφών στη βόρεια πολική περιοχή του πλανήτη Κρόνου, που ανακαλύφθηκε από το Voyager 1 και επιβεβαιώθηκε το 2006 από την αποστολή Cassini
• 
  Μόριο βενζολίου, το απλούστερο μόριο με εξαγωνικό σχήμα.
• 
  Κρυσταλλική δομή ενός μοριακού εξαγώνου που αποτελείται από εξαγωνικούς (αρωματικούς) δακτυλίους.
• 
  Φυσικά σχηματισμένες στήλες βασάλτη από το μονοπάτι του γίγαντα στην Ιρλανδία
• 
  Μικρογραφία μιας νιφάδας χιονιού
• 
  Εξαγωνικός κρύσταλλος χανκσίτη, ενός από τα πολλά ορυκτά που κρυσταλλώνονται στο εξαγωνικό κρύσταλλικό σύστημα

Τεχνητά εξάγωνα

• 
  Συναρμολογημένα τμήματα του κατόπτρου του τηλεσκοπίου E-ELT
• 
  Εναέρια άποψη του Φορτ Τζέφερσον στο Εθνικό Πάρκο Dry Tortugas
• 
  Το κύριο κάτοπτρο του νέου διαστημικού τηλεσκοπίου James Webb αποτελείται από 18 εξαγωνικά τμήματα.
• 
  Η ηπειρωτική Γαλλία έχει ένα χονδρικά εξαγωνικό σχήμα. Στη γαλλική γλώσσα η έκφραση l'Hexagone αναφέρεται στο ευρωπαϊκό έδαφος της Γαλλίας ("metropole") σε αντιδιαστολή με τα υπερπόντια εδάφη της, όπως η Γουαδελούπη, η Μαρτινίκα και η Γαλλική Γουιάνα.
• 
  Εξαγωνικός αχυρώνας
• 
  Το Hexagon, ένα εξαγωνικό θέατρο στο Ρέντινγκ της Αγγλίας

Δείτε επίσης

• Εξάγραμμα
• Εξαγωνικός αριθμός
• Ισόπλευρο τρίγωνο
• Δωδεκάγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Hexagon" από το MathWorld.
• Ορισμός και ιδιότητες του εξαγώνου με διαδραστική animation και κατασκευή με κανόνα και διαβήτη.
• Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός εξαγώνου στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή κανονικού εξαγώνου στο Desmos.

Ελληνικά άρθρα

• Παπαδάτος Ιωάννης (1977). «Ένα πρόβλημα του Πάππου». Ευκλείδης Β΄ (3): 10-11. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2919. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bradley, Christopher J. (Μαρτίου 2006). «Hexagons with opposite sides parallel». The Mathematical Gazette 90 (517): 57–67. doi:10.1017/S0025557200179033. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2006-03_90_517/page/57. 
• Bašić, Bojan (Σεπτεμβρίου 2021). «A Figure with Heesch Number 6: Pushing a Two-Decade-Old Boundary». The Mathematical Intelligencer 43 (3): 50–53. doi:10.1007/s00283-020-10034-w. 
• van Yzeren, Jan (Δεκεμβρίου 1993). «A Simple Proof of Pascal's Hexagon Theorem». The American Mathematical Monthly 100 (10): 930–931. doi:10.1080/00029890.1993.11990514. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1993-12_100_10/page/930. 
• Grove, C. C. (Μαΐου 1907). «The Complete Pappus Hexagon». The American Mathematical Monthly 14 (5): 87–98. doi:10.1080/00029890.1907.11997367. 
• Wernicke, Paul (Φεβρουαρίου 1930). «The Rectangular Hexagon». The American Mathematical Monthly 37 (2): 59–63. doi:10.1080/00029890.1930.11987583.