Πρώτος αριθμός

Πρώτος Αριθμός

Ταξινόμηση
Dewey	511
MSC2010	11-XX

Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας , ο οποίος δεν είναι πρώτος αριθμός ονομάζεται σύνθετος αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι πρώτος επειδή μόνο οι αριθμοί 1 και 5 τον διαιρούν εξίσου, ενώ ο 6 είναι σύνθετος επειδή έχει διαιρέτες τους 2 και 3 εκτός των 1 και 6. Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Το μηδέν συχνά δεν θεωρείται ούτε φυσικός.

Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).

Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής καθορίζει το βασικό ρόλο των πρώτων αριθμών στη θεωρία αριθμών: κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο. Η μοναδικότητα σε αυτό το θεώρημα προϋποθέτει την εξαίρεση του 1 ως πρώτου αριθμού επειδή ένας πρώτος μπορεί να περιέχει αυθαίρετα πολλές φορές το 1 σε κάθε γινόμενο, για παράδειγμα 3, 1 x 3, 1 x 1 x 3, κ.ο.κ. είναι όλοι παράγοντες του 3.

Μια απλή αλλά αργή μέθοδος για να επαληθευτεί αν ένας δοθείς αριθμός n είναι πρώτος είναι η λεγόμενη δοκιμαστική διαίρεση. Η δοκιμαστική διαίρεση συνίσταται στον έλεγχο αν ο n είναι πολλαπλάσιο κάποιου ακέραιου αριθμού μεταξύ του 2 και του √n. Οι αλγόριθμοι που είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από τη δοκιμαστική διαίρεση έχουν επινοηθεί για να ελέγχουμε αν μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι. Ιδιαίτερα γρήγορες μέθοδοι είναι διαθέσιμες για αριθμούς ειδικών μορφών, όπως είναι αριθμοί Mersenne. Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός από το Φεβρουάριο του 2013 έχει 17,425,170 δεκαδικά ψηφία.

Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. Δεν υπάρχει κανένας γνωστός τύπος ο οποίος να διαχωρίζει όλους τους πρώτους αριθμούς από τους σύνθετους. Ωστόσο, η κατανομή των πρώτων αριθμών, όπως λέμε τη στατιστική συμπεριφορά των πρώτων γενικά, μπορεί να μοντελοποιηθεί. Το πρώτο αποτέλεσμα προς αυτή την κατεύθυνση είναι το θεώρημα πρώτων αριθμών, το οποίο αποδείχτηκε στα τέλη του 19ου αιώνα, το οποίο λέει ότι η πιθανότητα ενός τυχαία επιλεγμένου αριθμού n να είναι πρώτος είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των ψηφίων ή του λογαρίθμου του n.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Πολλά ερωτήματα γύρω από τους πρώτους αριθμούς παραμένουν ανοιχτά, όπως η εικασία του Ρίμαν, η εικασία του Goldbach, η οποία λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων και η εικασία των διδύμων πρώτων, η οποία λέει ότι υπάρχουν άπειρα σε πλήθος ζευγάρια πρώτων των οποίων η διαφορά είναι 2. Τέτοιες ερωτήσεις οδήγησαν στην ανάπτυξη διάφορων κλάδων της θεωρίας αριθμών, εστιάζοντας στην αναλυτική ή αλγεβρική πλευρά των αριθμών. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς στην τεχνολογία πληροφοριών, όπως στην κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού, η οποία χρησιμοποιεί ιδιότητες, όπως τη δυσκολία να αναλύεις ένα μεγάλο αριθμό σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι αριθμοί συμβάλλουν σε διάφορες γενικεύσεις σε άλλους μαθηματικούς τομείς, ιδίως στην άλγεβρα, όπως τα στοιχεία πρώτων και τα ιδανικά πρώτων.

Ορισμός και παραδείγματα

Ένας φυσικός αριθμός (όπως 1, 2, 3, 4, 5, κ.ο.κ.) ονομάζεται πρώτος ή πρώτος αριθμός αν έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες, τον 1 και τον εαυτό του. Οι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι της μονάδας που δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι.

Ο αριθμός 12 δεν είναι πρώτος, καθώς 12 αντικείμενα μπορούν να τοποθετηθούν σε 3 ισομεγέθεις στήλες με 4 αντικείμενα η καθεμία (μεταξύ άλλων τρόπων). 11 αντικείμενα δεν μπορούν να τοποθετηθούν σε αρκετές ισομεγέθεις στήλες με παραπάνω από ένα αντικείμενο σε καθεμία χωρίς να περισσεύουν κάποια παραπάνω αντικείμενα (υπόλοιπο). Επομένως, ο αριθμός 11 είναι πρώτος.

Μεταξύ των αριθμών 1 και 6, οι αριθμοί 2, 3 και 5 είναι πρώτοι, ενώ οι αριθμοί 1, 4 και 6 δεν είναι πρώτοι. Ο 1 εξαιρείται από τους πρώτους αριθμούς για τους λόγους που εξηγούνται παρακάτω. Ο 2 είναι πρώτος αριθμός, διότι οι μόνοι φυσικοί αριθμοί που τον διαιρούν είναι οι 1 και 2. Στη συνέχεια, ο 3 είναι πρώτος επίσης επειδή οι 1 και 3 διαιρούν τον 3 χωρίς υπόλοιπο, αλλά ο 3 διαιρείται από το 2 με υπόλοιπο 1. Έτσι, ο 3 είναι πρώτος. Ωστόσο, ο 4 είναι σύνθετος, αφού ο 2 είναι ένας άλλος αριθμός (εκτός των 1 και 4) που διαιρεί τον 4 χωρίς υπόλοιπο:

4 = 2 · 2.

Ο 5 είναι επίσης πρώτος, επειδή κανένας από τους αριθμούς 2, 3, 4 δε διαιρεί τον 5. Στη συνέχεια, ο 6 διαιρείται από τους 2 και 3, αφού

6 = 2 · 3.

Άρα, ο 6 δεν είναι πρώτος. Η εικόνα στα δεξιά απεικονίζει ότι ο 12 δεν είναι πρώτος: 12 = 3 · 4. Κανένας άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 δεν είναι πρώτος, επειδή εξ' ορισμού κάθε τέτοιος αριθμός n έχει τουλάχιστον τρεις διαφορετικούς διαιρέτες, τους 1, 2 και n. Αυτό συνεπάγεται ότι ο n δεν είναι πρώτος. Επομένως, ο όρος περιττός πρώτος αναφέρεται σε κάθε πρώτο αριθμό μεγαλύτερο του 2. Ανάλογα, όλοι οι πρώτοι μεγαλύτεροι του 5, γραμμένοι στο σύνηθες δεκαδικό σύστημα, τελειώνουν σε 1, 3, 7 ή 9, αφού οι άρτιοι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 2 και οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5.

Αν ο n είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε οι αριθμοί 1 και n τον διαιρούν χωρίς υπόλοιπο. Συνεπώς, η προϋπόθεση ένας αριθμός να είναι πρώτος μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως εξής: ένας αριθμός είναι πρώτος αν είναι μεγαλύτερος του 1 και αν κανείς από τους

2, 3, ..., n-1

δε διαιρεί τον n (χωρίς υπόλοιπο). Επιπλέον, ένας άλλος τρόπος να πούμε το ίδιο είναι: ένας αριθμός n > 1 είναι πρώτος αν δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ακεραίων α και b, όπου α και b είναι μεγαλύτεροι του 1:

n = α · b.

Με άλλα λόγια, ο n είναι πρώτος αν n αντικείμενα δεν μπορούν να διαιρεθούν σε μικρότερες ισομεγέθεις ομάδες με παραπάνω από ένα αντικείμενα.

Οι μικρότεροι 168 πρώτοι αριθμοί (όλοι οι πρώτοι αριθμοί μικρότεροι του 1000) είναι οι εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών συνήθως συμβολίζεται με P.

Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής

Η τεράστια σημασία των πρώτων αριθμών για τη θεωρία αριθμών και τα μαθηματικά γενικότερα πηγάζει από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, το οποίο αναφέρει ότι κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 1 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ενός ή περισσότερων πρώτων κατά ένα μοναδικό τρόπο εκτός από τη σειρά διάταξης των παραγόντων που είναι πρώτοι αριθμοί. Οι πρώτοι μπορούν έτσι να θεωρηθούν βασικά δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα:

23244 = 2 · 2 · 3 · 13 · 149 = 2² · 3 · 13 · 149. (2² συμβολίζει το τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη του 2.)

Όπως και στο παραπάνω παράδειγμα, ο ίδιος παράγοντας πρώτου αριθμού μπορεί να συναντηθεί πολλές φορές. Μια αποσύνθεση:

n = p₁ · p₂ · ... · p_t

ενός αριθμού n σε (πεπερασμένου πλήθους) πρώτους παράγοντες p₁, p₂, ..., p_t ονομάζεται παραγοντοποίηση του n σε πρώτους παράγοντες. Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μπορεί να επαναδιατυπωθεί έτσι, ώστε να λέει ότι κάθε παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς θα είναι πανομοιότυπη εκτός από τη σειρά διάταξης των παραγόντων. Έτσι, μολονότι υπάρχουν πολλοί αλγόριθμοι παραγοντοποίησης με παράγοντες πρώτους αριθμούς για να το κάνουμε αυτό στην πράξη για μεγαλύτερους αριθμούς, στο τέλος όλοι οι αλγόριθμοι θα αποδίδουν το ίδιο αποτέλεσμα.

Αν p είναι ένας πρώτος αριθμός και ο p διαιρεί ένα γινόμενο αb , όπου α, b είναι ακέραιοι, τότε ισχύει ότι ο p διαιρεί τον α ή ο p διαιρεί τον b. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή ως το λήμμα του Ευκλείδη. Το λήμμα του Ευκλείδη χρησιμοποιείται σε μερικές αποδείξεις για να αποδειχθεί η μοναδικότητα της παραγοντοποίησης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Ο αριθμός 1 δεν είναι πρώτος

Οι αρχαίοι Έλληνες δε θεωρούσαν τον 1 ούτε ως αριθμό κι έτσι δε τον θεωρούσαν ούτε ως πρώτο. Ωστόσο, στο 19ο αιώνα πολλοί μαθηματικοί θεωρούσαν τον 1 ως πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, η λίστα του Derrick Norman Lehmer που περιείχε πρώτους αριθμούς ως το 10,006,721 και εκδόθηκε μέχρι και το 1956, άρχιζε με τον 1 ως πρώτο αριθμό. Λέγεται ότι ο Henri Lebesgue είναι ο τελευταίος επαγγελματίας μαθηματικός που θεωρεί τον 1 ως πρώτο αριθμό. Παρόλο που ένα μεγάλο τμήμα των μαθηματικών είναι σωστό με τη θεωρία του 1 ως πρώτου αριθμού, το παραπάνω θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δε στέκει όπως είναι διατυπωμένο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως 3 · 5 ή 1 · 3 · 5. Αν ο 1 ήταν πρώτος, τότε αυτές οι δύο εκφράσεις θα παρίσταναν διαφορετικές παραγοντοποιήσεις του 15 σε πρώτους αριθμούς κι έτσι το θεώρημα θα έπρεπε να τροποποιηθεί. Επιπρόσθετα, οι πρώτοι αριθμοί έχουν αρκετές ιδιότητες, τις οποίες ο αριθμός 1 δεν έχει, όπως τη σχέση του αριθμού με την αντίστοιχη τιμή του στη συνάρτηση του Euler ή στη συνάρτηση του αθροίσματος των διαιρετών.

Πλήθος πρώτων

Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος. Η πρόταση αυτή έχει αποδειχτεί με διάφορους τρόπους. Η πρώτη γνωστή απόδειξη είναι του Ευκλείδη:

Έστω ότι οι πρώτοι έχουν πεπερασμένο πλήθος n και είναι οι $p_1,p_2,p_3,...,p_n$. Ορίζουμε τον ακέραιο

$q = 1 + \prod_{i=1}^n p_i$

αυτός ο αριθμός δεν διαιρείται με κανένα πρώτο, αφού η ακέραια διαίρεση με οποιονδήποτε πρώτο ($p_i$) αφήνει υπόλοιπο 1 και αυτό είναι άτοπο ΟΕΔ.

Εύρεση πρώτων

Κόσκινο του Ερατοσθένη

Η εύρεση των πρώτων αριθμών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους μαθηματικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για (μαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη: Στο σύνολο των φυσικών αριθμών - πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν - αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2 μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ. έως το Ν. Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προς διαγραφή. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι. Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας αργός αλγόριθμος για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι, διότι μεταξύ άλλων απαιτεί ουσιαστικά και την εύρεση όλων των πρώτων μικρότερων ίσων του $\sqrt{N}$ (αν ένας αριθμός Ν δεν έχει διαιρέτες μικρότερους ίσους του $\sqrt{N}$, τότε είναι πρώτος).

Οπτικό κόσκινο Matiyasevich-Stechkin

Στις 14/2/1999 οι Yuri Matiyasevich και Boris Stechkin δημοσίευσαν στο διαδίκτυο το οπτικό κόσκινο των πρώτων αριθμών. Τα σημεία της παραβολής $x=y^2$ με ακέραιες συντεταγμένες ορίζουν χορδές που τέμνουν τον οριζόντιο άξονα x΄x σε σημεία της μορφής (αβ,0) όπου α,β ακέραιοι κι επομένως σαρώνουν όλους τους σύνθετους θετικούς ακέραιους.

Αλγόριθμοι εύρεσης πρώτων

Παρατίθενται μερικοί αλγόριθμοι (κατά σειρά ταχύτητας ή και απλότητας) για την εύρεση αν ο Ν>=2 είναι πρώτος. Η σειρά επίσης αυτών των αλγορίθμων είναι παιδευτική για την εισαγωγή σε μια σειρά από προγράμματα για ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

Απλός 1 - από τον ορισμό του πρώτου αριθμού

• Εξετάζουμε διαδοχικά όλους τους ακέραιους Μ < Ν
• Μόλις βρεθεί διαιρέτης του Ν σταματάμε και ο Ν δεν είναι πρώτος
• Αν εξαντληθούν οι Μ χωρίς να βρεθεί διαιρέτης, τότε ο Ν είναι πρώτος

Απλός 2

Βασιζόμενοι στην παρατήρηση ότι κανένας αριθμός Ν δεν έχει διαιρέτη μεγαλύτερο του Ν/2, τροποποιούμε τον παραπάνω αλγόριθμο εξετάζοντας όλους τους αριθμούς Μ < Ν/2, διπλασιάζοντας έτσι την ταχύτητα σε σχέση με τον "Απλό 1".

Απλός 3

Παρατηρούμε ότι αν ένας αριθμός Ν δεν είναι πρώτος τότε έχει (τουλάχιστον) δύο διαιρέτες μεγαλύτερους από 1. Σε αυτήν την περίπτωση τουλάχιστον ένας διαιρέτης είναι μικρότερος από την τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Τροποποιούμε τον αλγόριθμο 2 εξετάζοντας όλους τους αριθμούς Μ που είναι μικρότεροι από την τετραγωνική ρίζα του N, αν η τελευταία δεν είναι ακέραιος. Αλλιώς ο αριθμός δεν είναι πρώτος, επειδή τον διαιρεί και η τετραγωνική του ρίζα.

Απλός 4

Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Ουίλσον μπορούμε να εξετάσουμε, αν ένας αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό ο Ν είναι πρώτος αν και μόνο αν ισχύει

$(N-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ N),$

αν δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ν-1 παραγοντικό με το Ν, είναι ίσο με το υπόλοιπο της διαίρεσης του -1 με το N.

Η μέθοδος αυτή δεν εφαρμόζεται για μεγάλο Ν, αφού είναι δύσκολο να υπολογιστεί το παραγοντικό.

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός

Μέχρι τον Μάρτιο του 2013, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο:

$M_{48}=2^{57,885,161}-1$

Η ανακάλυψη του, έγινε στις 25 Ιανουαρίου 2013, μέσω του διαδικτυακού προγράμματος κατανεμημένης επεξεργασίας GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Ο αριθμός αυτός έχει 17.425.179 ψηφία (ο δεύτερος με πάνω από 10 εκατομμύρια ψηφία) και έχει την πρόσθετη ιδιότητα να είναι ο 48ος Μερσέν πρώτος (Mersenne prime) που ανακαλύφθηκε. Ο 47ος Μερσέν πρώτος, ο 2^43,112,609 − 1, ανακαλύφθηκε στις 25 Αυγούστου του 2008.

Στο πρόσφατο παρελθόν, όλοι οι πρώτοι που ανακαλύφθηκαν ήταν Μερσέν πρώτοι.

Επίσης, για τον πρώτο πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε και είχε πάνω από 10.000.000 ψηφία, δόθηκαν 100.000 δολάρια!

Ιδιότητες πρώτων

• Αν ο p είναι πρώτος και διαιρεί το γινόμενο ab γιά κάποιους ακέραιους a, b τότε ο p διαιρεί το a ή το b. (Ευκλείδης)

• Αν p πρώτος και a ακέραιος, τότε το a^p − a διαιρείται από το p (Μικρό Θεώρημα του Φερμά).

• Ένας ακέραιος p > 1 είναι πρώτος αν και μόνο αν p - 1 παραγοντικό + 1 δηλ. το (p − 1)! + 1 διαιρείται από το p (Θεώρημα του Ουίλσον).

• Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα, εκτός του 2 και του 5, έχουν ως τελευταίο ψηφίο ένα από τα 1, 3, 7 ή 9, διότι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8 είναι πολλαπλάσια του 2 ενώ οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5.

Ανοικτά ερωτήματα

Ένα από τα ανοιχτά ερωτήματα της σύγχρονης θεωρίας αριθμών είναι το πρόβλημα της παραγοντοποίησης μεγάλων ακεραίων, δηλαδή της εύρεσης αλγορίθμου παραγοντοποίησης σε πολυωνυμικό χρόνο. Στην "σκιά" αυτού του προβλήματος αναπτύχθηκε η κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και ειδικότερα του κρυπτοσυστήματος RSA.

Οι εικασίες του Γκόλντμπαχ

Είναι πολύ γνωστή η πρώτη εικασία που διατύπωσε ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ 1690-1764, η οποία σχετίζεται με τους πρώτους αριθμούς. Ο Γκόλντμπαχ υποστήριξε ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Η απόδειξη της παραπάνω εικασίας ταλανίζει ακόμα και σήμερα τους μαθηματικούς, καθώς παράλληλα οι υπολογιστές επιβεβαιώνουν την εικασία για όλο και μεγαλύτερους αριθμούς. Το 1998, η εικασία επιβεβαιώθηκε για αριθμούς μέχρις και της τάξης του $10^{14}$

Η δεύτερη εικασία του Γκόλντμπαχ έγκειται στο ότι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Και αυτή η εικασία παραμένει αναπόδεικτη, αν και επιβεβαιώνεται από ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Τυχόν απόδειξη της πρώτης εικασίας του Γκόλντμπαχ θα αποδείκνυε αμέσως και τη δεύτερη εικασία. Στη πρώτη εικασία γιατί <...μεγαλύτερος του 2;...> , 2=1+1 άθροισμα δύο Πρώτων ή να διατυπωθεί <.....ως άθροισμα δύο διαφορετικών Πρώτων ......>.

Δείτε ακόμη

• Θεώρημα πρώτων αριθμών

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• http://www.primzahlen.de/