Τετραγωνική ρίζα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Τετραγωνική ρίζα είναι η νιοστή ρίζα για ν=2, δηλαδή τετραγωνική ρίζα του α είναι ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός β, αν \beta^2=\alpha. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε ότι δεν είναι ρητός. Επιπλέον, η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας έχει επεκταθεί σε όλους τους αριθμούς, αν και ο αυστηρός ορισμός της την περιορίζει στους θετικούς αριθμούς και το 0. Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α συμβολίζεται με \sqrt{\alpha}. Το όνομα τετραγωνική ρίζα ήταν το πρώτο όνομα της και καθιερώθηκε, γιατί αποτελεί ρίζα του τετραγώνου, δηλαδή της εξίσωσης x^2=\alpha (το x2 ονομάζεται δεύτερη δύναμη του x, ή τετράγωνο του x, γιατί παραπέμπει στον τύπο εμβαδού του τετραγώνου).

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να είναι ρητός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασσο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}

Οι μαθηματικοί κατά την Αλεξανδρινή εποχή ασχολήθηκαν με τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν στη μελέτη τους και τις κυβικές.

Ο συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε να χρησιμοποιείται το 1525 από τον Christoff Rudolf. Από τότε, ο συμβολισμός έχει επεκταθεί και για τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, με τη διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται το ν.[1]

Η τετραγωνική ρίζα εμφανίζεται στους τύπους επίλυσης δευτεροβάθμιων, τριτοβάθμιων και τεταρτοβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων. Οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν υπό την προϋπόθεση ότι τα υπόρριζα είναι θετικά. Ωστόσο, μερικοί τύποι ισχύουν αν κάποιες ρίζες αντικατασταθούν από λύσεις τις εξίσωσης x^2=\alpha, όπου α το υπόρριζο. Αυτή η διαπίστωση οδήγησε στη θεώρηση των μιγαδικών αριθμών. Το βασικό στοιχείο τους i είναι λύση της εξίσωσης x^2=-1. Συχνά το i αποκαλείται τετραγωνική ρίζα του -1, αλλά αυτή η έκφραση δεν είναι σωστή από αυστηρή μαθηματική άποψη, γιατί το i δεν είναι πραγματικός αριθμός.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επειδή το γινόμενο δύο μη αρνητικών αριθμών είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός, η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς.

Η τετραγωνική ρίζα του α είναι εξ ορισμού ίδια με την ½ δύναμη του α, δηλαδή για κάθε \alpha\ge 0 ισχύει \sqrt{\alpha}\equiv\alpha^{\frac{1}{2}}

Η τετραγωνική ρίζα είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης x^2=\alpha, αν και μόνο αν α=0 (ωστόσο έχει αποδειχθεί ότι μπορούν να οριστούν αριθμοί τέτοιοι, ώστε και στην περίπτωση που α=0 να υπάρχουν παραπάνω από μία λύσεις). Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει πάντα και άλλη μία λύση. Στους μιγαδικούς αριθμούς η εξίσωση πάντα έχει λύση, ίσως υπάρχουν πολλές λύσεις ή καμία από αυτές δεν είναι τετραγωνική ρίζα. Ωστόσο, ισχύει:

x^2=\alpha\Rightarrow|x|=\sqrt{|\alpha|}

Η συνάρτηση τετραγωνική ρίζα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x} καλείται τετραγωνική ρίζα. Η γραφική της παράστασης είναι το άνω τμήμα της παραβολής με διευθετούσα την ευθεία x=-\frac{1}{2} και εστία το σημείο (\frac{1}{2},0).

Γραφική παράσταση της συνάρτησης της τετραγωνικής ρίζας

Πεδίο ορισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με βάση τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας πεδίο ορισμού είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και το 0.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, ενώ είναι παραγωγίσιμη σε όλους τους θετικούς αριθμούς (στο 0 η παράγωγος τείνει στο +\infty από τα δεξιά.) Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, ενώ για τη νιοστή παράγωγο \sqrt{x}^{(\nu)}=\frac{(-1)^{\nu-1}\cdot\prod_{i=1}^{\nu}(2i-1)}{2^{\nu}x^{\nu-1}\sqrt{x}}.

Μονοτονία-Κοιλοκυρτότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα έχει μόνο ένα ελάχιστο 0 στο 0. Δεν υπάρχει ασύμπτωση, αν και η παράγωγός της τείνει στο 0.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο τιμών της τετραγωνικής ρίζας είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί και το 0, είναι ίσο με το πεδίο ορισμού. Η τετραγωνική ρίζα δεν έχει παράμετρο, άρα όλες τις οι τιμές είναι συγκεκριμένες. Σε σχέση με τις άλλες νιοστές ρίζες, όλες τους ξεκινάνε από το (0,0).

Σύνοψη μεταβολών της τετραγωνικής ρίζας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τετραγωνική ρίζα ορίζεται στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, είναι συνεχής, παραγωγίσιμη εκτός του 0 και κάθε παράγωγός της παραγωγίσιμη. Είναι κοίλη συνάρτηση και γνησίως αύξουσα. Παρουσιάζει ελάχιστο το (0,0), δεν έχει ασύμπτωτες.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]