Διαίρεση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, και ειδικά στην βασική αριθμητική, διαίρεση είναι η αριθμητική πράξη αντίθετη του πολλαπλασιασμού.

Ειδικότερα, αν c επί b είναι ίσο με a, που γράφεται:

όπου b δεν είναι το μηδέν, τότε το a διαιρούμενο δια το b είναι ίσο με c, που γράφεται:

Για παράδειγμα,

αφού

.

Στην παραπάνω έξίσωση, το a λέγεται ο διαιρετέος, το b ο διαιρέτης και το c το πηλίκο.

Η διαίρεση περιγράφει δυο διαφορετικά αλλά σχετικά πράγματα. Το μοίρασμα ενός συνόλου a περιλαμβάνει τη διαμόρφωση b συνόλων που είναι ίσα σε μέγεθος. Το μέγεθος c καθενός από τα διαμορφωμένα σύνολα, είναι το πηλίκο των a και b. Η ποσοτική διαίρεση σημαίνει από ένα σύνολο a να δημιουργούνται σύνολα μεγέθους b. Ο αριθμός c των συνόλων που μπορούν να δημιουργηθούν είναι το πηλίκο των a και b.

Η διδασκαλία της διαίρεσης οδηγεί στην εισαγωγή των μαθητών στην έννοια των κλασμάτων. Αντίθετα με την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, το σύνολο των ακεραίων δεν είναι κλειστό ως προς τη διαίρεση. Η διαίρεση δυο ακεραίων μπορεί να έχει υπόλοιπο. Για να συμπληρωθεί η διαίρεση και του υπολοίπου, το σύστημα αριθμών επεκτείνεται ώστε να περιλαμβάνει κλάσματα, ή ρητούς αριθμούς όπως λέγονται γενικότερα.

[Επεξεργασία] Συμβολισμός

Η διαίρεση συχνά γράφεται στην άλγεβρα και τις επιστήμες τοποθετώντας τον διαιρετέο ή αριθμητή πάνω από τον διαιρέτη ή παρονομαστή με μια οριζόντια γραμμή ανάμεσά τους. Για παράδειγμα το a δια του b γράφεται:

Αυτό διαβάζεται προφορικά ως το a διαιρεμένο δια του b ή a δια b. Ένας άλλος τρόπος να απεικονισθεί η διαίρεση σε μια γραμμή είναι γράφοντας τον διαιρετέο, μια πλάγια γραμμή, και το διαιρέτη:

Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος να γραφτεί η διαίρεση στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού, αφού είναι ευκολότερο να δακτυλογραφηθεί ως απλή σειρά χαρακτήρων.

Μια τυπογραφική παραλλαγή, ανάμεσα στις δυο παραπάνω μορφές είναι με χρήση μιας πλάγιας γραμμής κλάσματος, όπου ο διαιρετέος είναι ανυψωμένος και ο διαιρέτης κατεβασμένος:

Οποιαδήποτε από τις παραπάνω μορφές μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση ενός κλάσματος. Κλάσμα είναι η έκφραση της διαίρεσης όπου τόσο ο διαιρετέος όσο και ο διαιρέτης είναι ακέραιοι (και συνήθως λέγονται αριθμητής και παρονομαστής), και η διαίρεση δεν χρειάζεται να υπολογισθεί παραπέρα.

Ένας άλλος τρόπος να αναπαρισταθεί η διαίρεση είναι με χρήση του συμβόλου της διαίρεσης, ως εξής:

Αυτή η μορφή είναι λιγότερο συχνή, εκτός της βασικής αριθμητικής. Το σύμβολο της διαίρεσης χρησιμοποιείται και για να απεικονίσει την πράξη της διαίρεσης αυτή καθαυτή, όπως για παράδειγμα στο πλήκτρο μιας αριθμομηχανής.

Σε κάποιες χώρες χρησιμοποιείται επίσης το σύμβολο a : b για να αναπαραστήσει τη διαίρεση, ενώ σε άλλες αναπαριστά την έννοια της αναλογίας (δηλαδή το a είναι για το b...).

[Επεξεργασία] Υπολογισμός της διαίρεσης

Κάποιος που γνωρίζει τους πίνακες πολλαπλασιασμού μπορεί να διαιρέσει δυο ακεραίους με μολύβι και χαρτί και τη μέθοδο της μακράς διαίρεσης. Αν ο διαιρετέος έχει κλασματικό μέρος (συνήθως δεκαδικό μέρος), ο αλγόριθμος μπορεί να συνεχιστεί μετά την υποδιαστολή για όσο χρειάζεται. Αν ο διαιρέτης έχει κλασματικό μέρος, μπορούμε να επαναθέσουμε το πρόβλημα μετακινώντας την υποδιαστολή προς τα δεξιά και στους δύο αριθμούς μέχρι ο διαιρέτης να είναι ακέραιος.

Οι σύγχρονοι υπολογιστές υπολογίζουν τη διαίρεση με μεθόδους που είναι πιο γρήγορες από τη μακρά διαίρεση: βλ. ψηφιακή διαίρεση.

Η διαίρεση μπορεί να υπολογιστεί και με άβακα, βάζοντας το διαιρετέο στον άβακα, και αφαιρώντας το διαιρέτη από κάθε ψηφίο, μετρώντας τον αριθμό των αφαιρέσεων που γίνονται για κάθε θέση.

Ακόμα, κάποιος μπορεί να υπολογίσει διαιρέσεις και με λογαριθμικό κανόνα, ευθυγραμμίζοντας τον διαιρέτη στην κλίμακα C με τον διαιρετέο στην κλίμακα D. Το πηλίκο μπορεί να βρεθεί στην κλίμακα D όπου είναι ευθυγραμμισμένο με τον αριστερό δείκτη της κλίμακας C. Βέβαια, ο χρήστης πρέπει να κρατάει υπ'όψιν του την υποδιαστολή.

Στην αριθμητική modulo, κάποιοι αριθμοί έχουν ένα modulo- πολλαπλασιαστικό αντίστροφο, σε σχέση με το modulus. Σ' αυτή την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση με επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς. Η προσέγγιση αυτή είναι χρήσιμη στους υπολογιστές που δεν υλοποιούν μια γρήγορη εντολή διαίρεσης.