Αριθμητική πρόοδος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της , ισχύει ότι , για μία σταθερή ποσότητα .[1]:125[2]:86-87[3]:423-424 Η ποσότητα ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το , τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς:

  • Γενικός τύπος: , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
  • Αναδρομικός τύπος: για , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για και , οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι

και για και

Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.[4]:6[5]:113-116

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραδείγματα αριθμητικών προόδων με διαφορά , και .
  • Αν και τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: .
  • Αν και τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για και , είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: .
  • Αν και τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για και , είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: .

Σχέση με άλλες ακολουθίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών με ώστε η ακολουθία: , αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
  • Αν είναι μία γεωμετρική πρόοδος με και λόγο , τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά , καθώς .

Ισοδυναμία ορισμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικός σε αναδρομικό τύπο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι , και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς .[3]: 424 

Βασική Περίπτωση: Για , έχουμε ότι .

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για , δηλαδή , θα δείξουμε ότι ισχύει και για . Από τον αναδρομικό τύπο,

Επομένως ισχύει και για και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς .

Ιδιότητες της προόδου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρία παραδείγματα αριθμητικών προόδων και τα σημεία πάνω στα οποία ανήκουν. Η κλίση της ευθείας είναι .

Μονοτονία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Καθώς , προκύπτει άμεσα ότι:

  • Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
  • Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
  • Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με .

Άθροισμα πρώτων όρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (με πρώτο όρο τον ) ισούται με[1]: 127 [2]: 87 [3]: 425 

Σύμφωνα με κάποιες πηγές,[6] ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Μέσος όρος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών και είναι ο , αν και μόνο αν οι όροι , , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.[1]: 126 [2]: 88 

Υπολογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός καινούργιου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων.

double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή πράξεις.

double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ελληνικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ξενόγλωσσα άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Κατσαργύρης, Βασίλειος· Παπασταυρίδης, Σταύρος· Πολύζος, Γεώργιος· Σβέρκος, Ανδρέας (1998). Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Μπαλλής, Στ. Αλγεβρα μετα στοιχειων αναλυτικης γεωμετριας και αναλυσεως. Θεσσαλονικη: Βερβεριδης Πολυχρονιδης. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Ζουρνάς, Ι. Άλγεβρα Τόμος ΙΙ. Θεσσαλονικη: Εκδόσεις Σύγχρονου Βιβλιοπωλείου. 
  4. Φωτάκης, Δημήτρης (2011). «(Γραμμικές) αναδρομικές σχέσεις» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 10 Αυγούστου 2022. 
  5. Μαντας, Ι. (1971). Μαθηματικά 2: Ακολουθίες και Σειρές. Αθήνα: Χρ. Ζησουλης. 
  6. Hayes, Brian. «Gauss's Day of Reckoning». American Scientist. Ανακτήθηκε στις 10 Αυγούστου 2022.