Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της α_ν, α_ν+1 ισχύει ότι $\alpha_{\nu+1}-\alpha_{\nu}=\omega$, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η οποιαδήποτε διαφορά δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένη, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι, η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:

• Γενικός τύπος: α_ν=α₁+(ν-1)ω
• Αναδρομικός τύπος: α_ν=α_ν-1+ω

Ιδιότητες της προόδου

• Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω.

• Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

• Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (α_ν) ( με πρώτον όρο τον α₁) ισούται με $\Sigma_\nu=\frac{\nu(\alpha_1+\alpha_\nu)}{2}$

Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

• Αν ω=1 και α₁=1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.