Ρητός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Συμβολίζεται με \mathbb{Q}. Το σύνολο των ρητών περιγράφεται από το σύνολο:

\left\{\frac{\mu}{\nu} : \mu, \nu \in \mathbb{Z}, \nu \ne 0 \right\}

και ισοδύναμα από το:

\left\{\frac{\mu}{\nu} : \mu \in \mathbb{Z}, \nu \in \mathbb{N} \right\}

Όλοι οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρους διαφορετικούς τρόπους ως πηλίκα δύο ακεραίων μ/ν όπου το ν δεν είναι ίσο με μηδέν. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος γραφής κάθε ρητού στην μορφή μ/ν με ν φυσικό, όπου ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, μκδ(μ, ν) των μ και ν είναι η μονάδα η οποία είναι και η πιο απλή μορφή του.

Η δεκαδική αναπαράσταση κάθε ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Το σύνολο των ρητών είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται άρρητοι. Επιπλέον το σύνολο των ακεραίων και κατά συνέπεια και το σύνολο των φυσικών, είναι υποσύνολο αυτού των ρητών αφού κάθε ακέραιος α γράφεται στη μορφή α/1 που είναι ρητός.

Αριθμητική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο ρητοί αριθμοί \frac{\alpha}{\beta} και \frac{\gamma}{\delta} λέμε ότι είναι ίσοι και γράφουμε \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} αν και μόνο αν \alpha\delta=  \beta\gamma

Γενικά οι ρητοί αριθμοί όπως και οι ακέραιοι έχουν την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Η πρόσθεση δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\delta + \beta\gamma}{\beta\delta}

Ο πολλαπλασιασμός δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\gamma}{\beta\delta}

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αλγεβρικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Απαρίθμηση των ρητών αριθμών

Τοπολογικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι πυκνό στο σύνολο των πραγματικών. Με αυτό εννοούμε ότι μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών μπορεί να βρεθεί πάντα ένας ρητός και κατά συνέπεια μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μπορούν να βρεθούν άπειροι σε πλήθος ρητοί αριθμοί.
  • Επίσης είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι και μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών αριθμών μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον ένας άλλος ρητός αριθμός και κατά συνέπεια άπειροι σε πλήθος ρητοί.

Θεωρητική Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε γραμμή του διαγράμματος (χωρίς το 0) αντιστοιχεί σε μια κλάση ισοδυναμίας

Οι ρητοί αριθμοί κατασκευάζονται από κλάσεις ισοδυναμίας διατεταγμένων ζεύγων ακεραίων (μ, ν) με ν διάφορο του μηδενός. Θεωρούμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:

(\mu, \nu) + (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \lambda + \nu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)
(\mu, \nu) \cdot (\kappa, \lambda) = (\mu \cdot \kappa,\, \nu \cdot \lambda)

Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε αυτές των κλασμάτων (βλ. Αριθμητική).

Ως σχέση ισοδυναμίας ορίζουμε

(\mu, \nu) \sim (\kappa, \lambda) \Leftrightarrow \mu \cdot \lambda = \nu \cdot \kappa

που αντιστοιχεί στην ισοδυναμία κλασμάτων (π.χ. 1/2=2/4 αφού 1.4=2.2).

Το σύνολο \mathbb{Q} είναι σύμφωνα με τα παραπάνω ισοδύναμο με το σύνολο πηλίκο \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  \setminus \{0\}/\sim \,