Περιοδικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Περιοδικοί αριθμοί λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται επ' άπειρον. Δηλαδή σε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό, ένα ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία του επαναλαμβάνονται. Τα ψηφία που επαναλαμβάνονται λέγονται περίοδος του αριθμού αυτού. Π.χ. ο αριθμός 3,53636363636... είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο 36.

Κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός, γιατί μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακεραίων. Π.χ. ο αριθμός 0,777...=7/9 γιατί αν θεωρήσουμε x=0,777... τότε 10x=7,777... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=7 οπότε x=7/9. Αν θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... τότε με τον ίδιο τρόπο έχουμε: x=0,999... τότε 10x=9,999... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=9 οπότε x=9/9 δηλαδή x=1. Δηλαδή αποδείξαμε ότι 0,999...=1.

Αυτό το συμπέρασμα δικαιολογείται και από μία βασική αρχή των Μαθηματικών: μεταξύ 2 άνισων αριθμών,πάντοτε υπάρχει ένας ενδιάμεσος αριθμός (αρχή της πληρότητας). Συνεπώς αν οι αριθμοί 0,999... και 1 ήταν άνισοι, θα έπρεπε να υπήρχε ανάμεσά τους ένας αριθμός που θα ήταν μεγαλύτερος του 0,999... και μικρότερος του 1, πράγμα το οποίο δεν ισχύει. Με παρόμοιο τρόπο 2,1999...=2,2.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]