Θεώρημα πρώτων αριθμών

Το θεώρημα πρώτων αριθμών περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών.

Δηλώνει ότι αν διαλέξουμε τυχαία έναν αριθμό μικρότερο ή ίσο του $\,x$ η πιθανότητα αυτός να είναι πρώτος είναι περίπου $\,1/\ln x$.

Θεώρημα

Έστω η συνάρτηση πρώτων αριθμών $\,\pi(x)$ που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του $x, x\in\R_+$:

$\pi(x)=\sum_{p\leq x}1.$

Ισχύει:

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},$

που σημαίνει ότι η $\,\pi(x)$ και η $\frac{x}{\ln x}$ έχουν ασυμπτωτικά την ίδια συμπεριφορά ή αλλιώς $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{{x}/{\ln x}}=1$.

Ακριβέστερη προσέγγιση

Σύγκριση των π(x) (μπλε), x / ln x (πράσινο) και Li(x) (κόκκινο)

Έστω το λογαριθμικό ολοκλήρωμα (logarithmic integral):

$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t},$

που μπορεί να γραφεί και ως:

$Li(x)=\frac{x}{\ln x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(\ln x)^k}=\frac{x}{\ln x}+\frac{x}{(\ln x)^2}+\frac{2x}{(\ln x)^3}+\cdots.$

Σύμφωνα to θεώρημα πρώτων αριθμών ισχύει $\,\pi(x)\sim Li(x)$. Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}}),$

όπου ο όρος λάθους είναι μικρότερος από αυτόν που δίνει το θεώρημα πρώτων αριθμών. Η σχέση

$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\ln x),$

που δηλώνει καλύτερη προσέγγιση από την προαναφερθείσα, είναι ισοδύναμη της υπόθεσης του Riemann.

Αριθμητικά παραδείγματα

Ο πίνακας δίνει τον αριθμό των πρώτων μέχρι το x σε σύγκριση με τις προαναφερθήσες προσεγγίσεις.

x	π(x)	π(x) / x	x / ln(x)	π(x)·ln(x) / x	Li(x)
10	4	0,400000	4	0,921034	6
102	25	0,250000	22	1,151292	30
103	168	0,168000	145	1,160503	178
104	1.229	0,122900	1.086	1,131951	1.246
105	9.592	0,095920	8.686	1,104320	9.630
106	78.498	0,078498	72.382	1,084490	78.628
107	664.579	0,066458	620.421	1,071175	664.918
108	5.761.455	0,057615	5.428.681	1,061299	5.762.209
109	50.847.534	0,050848	48.254.942	1,053727	50.849.235
1010	455.052.511	0,045505	434.294.482	1,047797	455.055.615
1011	4.118.054.813	0,041181	3.948.131.654	1,043039	4.118.066.401
1012	37.607.912.018	0,037608	36.191.206.825	1,039145	37.607.950.281
1013	346.065.536.839	0,034607	334.072.678.387	1,035899	346.065.645.810
1014	3.204.941.750.802	0,032049	3.102.103.442.166	1,033151	3.204.942.065.692
1015	29.844.570.422.669	0,029845	28.952.965.460.217	1,030795	29.844.571.475.288
1016	279.238.341.033.925	0,027924	271.434.051.189.532	1,028752	279.238.344.248.557
1017	2.623.557.157.654.233	0,026236	2.554.673.422.960.305	1,026964	2.623.557.165.610.822
1018	24.739.954.287.740.860	0,024740	24.127.471.216.847.324	1,025385	24.739.954.309.690.415
1019	234.057.667.276.344.607	0,023406	228.576.043.106.974.646	1,023982	234.057.667.376.222.382
1020	2.220.819.602.560.918.840	0,022208	2.171.472.409.516.259.138	1,022725	2.220.819.602.783.663.484
1021	21.127.269.486.018.731.928	0,021127	20.680.689.614.440.563.222	1,021594	21.127.269.486.616.126.182
1022	201.467.286.689.315.906.290	0,020147	197.406.582.683.296.285.296	1,020570	201.467.286.691.248.261.498
1023	1.925.320.391.606.803.968.923	0,019253	1.888.236.877.840.225.337.614	1,019639	1.925.320.391.614.054.155.139

Δείτε επίσης

• Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής