Ιδεώδες (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ιδεώδες (μαθηματικά)
Ταξινόμηση
Dewey 510
MSC2010 16D25

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και  I ένα μη κενό υποσύνολο αυτου. Το   I θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως  I \triangleleft \mathcal{R} αν ισχύουν τα εξής:

  • a-b \in I για κάθε  a,b \in I
  • r\cdot a \in I και a\cdot r \in I , για κάθε r\in \mathcal{R},a \in I

Μεγιστικό ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και M \ne \mathcal{R} ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε I \triangleleft R με M \subset I \subset \mathcal{R} έπεται ότι I=M ή I=\mathcal{R}.

Πρώτο Ιδεώδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και \mathcal{P} \ne \mathcal{R} ένα ιδεώδες του. Το \mathcal{P} θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

  • Αν  ab \in \mathcal{P} τότε είτε a \in \mathcal{P} είτε b \in \mathcal{P}.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο \{0_R\}
  • Το σύνολο \{ra;r \in R \} είναι ένα ιδεώδες του R που περιέχει το a.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με <a>.