Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ιδεώδες (μαθηματικά)
Ταξινόμηση
Dewey	510
MSC2010	16D25
	π • σ • ε

Πίνακας περιεχομένων

1 Ορισμός
2 Μεγιστικό ιδεώδες
3 Πρώτο Ιδεώδες
4 Παραδείγματα

Ορισμός [Επεξεργασία]

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτου. Το $I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I \triangleleft \mathcal{R}$ αν ισχύουν τα εξής:

$a-b \in I$ για κάθε $a,b \in I$

$r\cdot a \in I$ και $a\cdot r \in I$ , για κάθε $r\in \mathcal{R},a \in I$

Μεγιστικό ιδεώδες [Επεξεργασία]

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $M \ne \mathcal{R}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε $I \triangleleft R$ με $M \subset I \subset \mathcal{R}$ έπεται ότι $I=M$ ή $I=\mathcal{R}$ .

Πρώτο Ιδεώδες [Επεξεργασία]

Έστω $(\mathcal{R},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $\mathcal{P} \ne \mathcal{R}$ ένα ιδεώδες του. Το $\mathcal{P}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

Αν $a,b \in \mathcal{P}$ τότε είτε $a \in \mathcal{P}$ είτε $b \in \mathcal{P}$ .

Παραδείγματα [Επεξεργασία]

Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_R\}$

Έστω $F:R \rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

Το σύνολο $\{ra;r \in R \}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$ .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με $<a>$ .