Μαθηματικά
Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθμούς), τη δομή (δηλαδή τα σχήματα), το διάστημα, τη μεταβολή και τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας. Οι Μαθηματικοί περιγράφουν τις σχέσεις[2][3] με τύπους ή και αλγόριθμους και ερευνούν την αλήθεια τους με αποδεικτική διαδικασία λογικών βημάτων που στηρίζονται σε αξιώματα και θεωρήματα[4].
Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τα μαθηματικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.
Η λέξη προέρχεται από τον (αρχαίο) πληθυντικό τού ουδετέρου τού επιθέτου μαθηματικός < μάθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ γνώσεις, γνώση, παιδεία, εμπειρία
Πίνακας περιεχομένων |
[Επεξεργασία] Γενική επισκόπηση και ιστορία των μαθηματικών
Η μελέτη της δομής, που θεματοποιείται σήμερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας.
Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από μετρήσεις εμβαδών (Αιγύπτιοι), θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα μαθηματικά. Ακόμη, οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική μέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους μαθηματικούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποδείχτηκε μόλις το 19ο αιώνα ότι δεν μπορούν να επιτευχθούν με αυτήν τη μέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας, ή αλλιώς "πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη", στάθηκε η αφορμή να ανακαλυφθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι.
Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του απειροστικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.
Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.
Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία κ.λπ, τα μαθηματικά παίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο.
Διάσημες μαθηματικές προτάσεις είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, η Υπόθεση του συνεχούς του Γκέοργκ Κάντορ, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το θεώρημα μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ κ.ά., ενώ πολύ γνωστές εικασίες που μένουν να αποδειχτούν είναι μεταξύ άλλων η Υπόθεση του Ρήμαν, η Eικασία του Γκόλντμπαχ και η "P ≠ NP". Τα 23 προβλήματα του Νταβίντ Χίλμπερτ, διατυπωμένα στις αρχές του 20ου αιώνα, αν και σήμερα ως επί το πλείστον απαντημένα, έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην μαθηματική έρευνα.
Μερικά από τα υψηλότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το μετάλλιο Fields, το βραβείο Abel και το βραβείο Wolf. Δεν υπάρχει Βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά.
[Επεξεργασία] Κλάδοι των Μαθηματικών
Μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε χοντρικά τους επιμέρους κλάδους των μαθηματικών όπως παρακάτω, χωρίς να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αλληλεπικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών κατηγοριών.
[Επεξεργασία] Άλγεβρα
Η άλγεβρα είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της (αλγεβρικής) δομής.
| Ταξινόμηση | |
|---|---|
| Dewey | 512 |
| MSC2010 | 08-03 |
Άλγεβρα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη δομή, [[relation (mathematics)|σχέση], και τη ποσότητα. Στοιχειώδης άλγεβρα είναι ο κλάδος που ασχολείται με την επίλυση των αριθμητικών εξισώσεων. Η Σύγχρονη ή αφηρημένη άλγεβρα έχει τις ρίζες της στη στοιχειώδη άλγεβρα και είναι επέκτασή της . Μερικοί ιστορικοί πιστεύουν ότι η αρχική μαθηματική έρευνα έγινε από τις τάξεις των ιερέων των αρχαίων πολιτισμών, όπως της Βαβυλώνας.[5] Η προέλευση της άλγεβρας μπορεί έτσι να αναχθεί στους αρχαίους Βαβυλώνιους μαθηματικούς περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν.
[Επεξεργασία] Ετυμολογία
Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από την αραβική λέξη Al-Jabr, όπως αναφέρεται σε κείμενο γραμμένο το 820 μχ από Πέρση μαθηματικό του μεσαίωνα, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, με τίτλο, στην αραβική γλώσσα,, كتاب الجبر والمقابلة or Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, η οποία μπορεί να μεταφραστεί ως "Συνοπτικό βιβλίο υπολογισμών με χρήση ολοκλήρωσης και εξισορρόπησης". Σε αυτό το κείμενο περιγράφεται μια συστηματική μέθοδος επίλυσης γραμμικών καθώς και δευτέρου βαθμού εξισώσεων. Η λέξη Al-Jabr χρησιμοποιείται επίσης από τον άραβα μαθηματικό al-Khwarizmi για να περιγράψει τις πράξεις που εισήγαγε σε μια προσπάθεια επίλυσης γραμμικής εξίσωσης .[6]
- Γραμμική Άλγεβρα
- Θεωρία ομάδων
- Θεωρία σωμάτων
- Θεωρία Γκαλουά
- Αντιμεταθετική άλγεβρα
- Άλγεβρες Λη
- Θεωρία αριθμών
[Επεξεργασία] Μαθηματική ανάλυση
Η μαθηματική ανάλυση είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της απόστασης.
- Απειροστικός λογισμός
- Τοπολογία
- Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
- Συναρτησιακή ανάλυση
- Μιγαδική ανάλυση
- Διαφορικές εξισώσεις
- Δυναμικά συστήματα
- Αριθμητική ανάλυση
[Επεξεργασία] Γεωμετρία
Η γεωμετρία είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια του σχήματος.
[Επεξεργασία] Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Καθιερωμένοι κλάδοι εφαρμοσμένων μαθηματικών είναι οι παρακάτω:
- Μαθηματική φυσική
- Θεωρία πιθανοτήτων
- Στατιστική
- Θεωρία πληροφοριών
- Βελτιστοποίηση
- Θεωρία παιγνίων
- Λογισμός μεταβολών
- Θεωρητική πληροφορική
- Θεωρία τυπικών γλωσσών
- Θεωρία υπολογισιμότητας
- Θεωρία αλγορίθμων και υπολογιστικής πολυπλοκότητας
- Τυπική σημασιολογία
- Μαθηματική θεωρία συστημάτων
- Κρυπτογραφία
[Επεξεργασία] Διακριτά μαθηματικά
Στα διακριτά μαθηματικά μελετούνται συγκεκριμένα πεπερασμένες ή αριθμήσιμες δομές.
[Επεξεργασία] Θεμέλια των μαθηματικών
Κλάδοι που προσπαθούν να θεμελιώσουν και να ενοποιήσουν τα μαθηματικά είναι οι παρακάτω:
[Επεξεργασία] Μάθηση και κατανόηση εννοιών - κριτική
| Για τη χρήση μαθηματικών ώστε να πιστεύουν, παραιτούμενοι, όσοι δεν καταλαβαίνουν: «Δεν έχεις πλήρη κατανόηση για κάτι αν δεν μπορείς να το εξηγήσεις και στη γιαγιά σου.» |
| Άλμπερτ Αϊνστάιν |
Για την αξιωματική μέθοδο παραδοχών που οδηγεί με λογική σε λάθος συμπεράσματα: «Τα Μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως εκείνο το γνωστικό αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε ποτέ ούτε για τι πράγμα μιλάμε ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθές.» |
| Μπέρτραντ Ράσσελ |
Για την τυφλή χρήση των μαθηματικών: «Στα Μαθηματικά δεν καταλαβαίνουμε πράγματα. Απλώς τα χρησιμοποιούμε.» |
| Τζον φον Νόιμαν
|
Στα μαθηματικά γίνεται κριτική πως η χρήση τους στη μάθηση με λάθος τρόπο καταλήγει στο να μην υπάρχει πραγματική σύνδεση με τις έννοιες που επιχειρούν να περιγράψουν, ορίζοντας το «απόλυτα σωστό» και αποτρέποντας την διερεύνηση και ανακάλυψη των σχέσεων που διέπουν τα φυσικά πράγματα. Στη μέθοδο διδασκαλίας που μετατρέπει τα μαθηματικά σε μια σειρά από τεχνικές και τύπους καταλογίζεται πως δεν επιτρέπει την πραγματική γνώση τους και με τη μορφή τους αυτή δεν δίνουν κανένα κίνητρο για μάθηση.
Η «στείρα» χρήση των μαθηματικών κατηγορείται πως αποκόπτει από το περιβάλλον, τη χρήση δηλαδή των αισθήσεων που δίνουν την επαφή με αντικείμενα και έννοιες που ευαισθητοποιούν και συνδέουν τη μάθηση με τη φύση και τη ζωή, με αποτέλεσμα τη στέρηση της δημιουργικότητας.
Τα μαθηματικά, με τον τρόπο που χρησιμοποιούνται για να περιγράφουν εξειδικευμένα τα πράγματα, «μένουν ταυτισμένα με πολύπλοκες και δυσνόητες “εξισώσεις”, κατάλληλες για να χρησιμοποιηθούν μόνο από λίγους “ειδικούς” για σκοπούς που οι περισσότεροι δεν καταλαβαίνουν».
[Επεξεργασία] Δείτε ακόμη
- Φιλοσοφία των μαθηματικών
- Ιστορία των μαθηματικών
- Διδακτική των μαθηματικών
- Μαθηματικοί
- Μαθηματικές ενώσεις και εταιρίες
- Μαθηματικές Ολυμπιάδες
[Επεξεργασία] Αναφορές και σημειώσεις
- ↑ Δεν έχουν βρεθεί περιγραφές της όψης του Ευκλείδη από την εποχή της ζωής του και επομένως η περιγραφή του βασίστηκε στην καλλιτεχνική φαντασία.
- ↑ Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns. Science, 240: 611–616. and summarized at Association for Supervision and Curriculum Development.
- ↑ Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5.
- ↑ Jourdain.
- ↑ Πρότυπο:Harv "It has been suggested that both Indian and Egyptian geometry may derive from a common source—proto-geometry that is related to primitive rites in somewhat the same way in which science developed from mythology and philosophy from theology. We must bear in mind that the theory of the origin of geometry in a secularization of ritualistic practice is by no means established. The development of geometry may just as well have been stimulated by the practical needs of construction and surveying or by an aesthetic feeling for design and order."
- ↑ Σφάλμα αναφοράς: Σφάλμα παραπομπής: Λανθασμένο
<ref>. Δεν υπάρχει κείμενο για τις παραπομπές με όνομαBoyer-229. - ↑ Τάσος Ανθουλιάς. "Τα Μαθηματικά είναι πραγματικά για τόσο λίγους; - Μαθηματικά, εκπαίδευση και περιβάλλον - Τα Μαθηματικά και οι λεγόμενες “θεωρητικές επιστήμες”". Ελληνική εκπαίδευση: πορεία προς το άγνωστο. Χελιδόνι. σελ. 21, 24-25, 29. http://www.helidoni.info/b1.htm.
[Επεξεργασία] Βιβλιογραφία (στα αγγλικά)
- Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
- Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhδuser, Boston, Mass., 1980. Μια ευγενική εισαγωγή στον κόσμο των Μαθηματικών.
- Gullberg, Jan, Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Μια εγκυκλοπαιδική επισκόπηση των μαθηματικών σε καθαρή, απλή γλώσσα.
- Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Μια μεταφρασμένη και επεκτεταμένη εκδοχή μιας Σοβιετικής εγκυκλοπαίδειας μαθηματικών, σε δέκα (ακριβούς) τόμους, το πιο πλήρες και αναγνωρίσιμο έργο διαθέσιμο. Επίσης σε χαρτόδετη έκδοση και σε CD-ROM.
- Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973)
[Επεξεργασία] Εξωτερικοί σύνδεσμοι
- Ένας μαθηματικός θησαυρός συντηρούμενος από το Πανεπιστήμιο του Cambridge (UK)
- Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, μια περιήγηση στους διαφόρους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών.
- Weisstein, Eric: World of Mathematics, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών.
- Planet Math, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών υπό κατασκευή. Χρησιμοποιεί την άδεια GFDL, επιτρέποντας ανταλλαγή άρθρων με την Βικιπαίδεια, και συμβολισμό TeX.
- MathForge, ένα blog ειδήσεων με εύρος θεμάτων από τα εκλαϊκευμένα μαθηματικά έως την εκλαϊκευμένη Φυσική, την Επιστήμη Υπολογιστών και την Εκπαίδευση.
- Metamath, ένας ιστότοπος και μια γλώσσα, που τυποποιούν τα μαθηματικά από τις βάσεις τους.
|
|||||
|
|||||||||||
