Αριθμός e (μαθηματικά)

Αριθμός e

Ταξινόμηση
MSC2010	03-XX

O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε") είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Ορισμοί

Με όριο

Ο e είναι το όριο της ακολουθίας $\left(1+ \frac{1}{n} \right)^n$ καθώς το n προσεγγίζει το άπειρο.

Ο παραπάνω όρος εμφανίζεται στο πρόβλημα του αέναου ανατοκισμού. Συγκεκριμένα είναι το μέγιστο ποσό που μπορεί να εισπράξει κάποιος, ο οποίος καταθέτει σήμερα μία νομισματική μονάδα με επιτόκιο 100% για ένα δεδομένο (οποιοδήποτε) χρονικό διάστημα, υπό την προϋπόθεση ότι η κατάθεση ανατοκίζεται με επιτόκιο (100/n)% σε κάθε n-οστό κλάσμα του δεδομένου χρόνικού διαστήματος της κατάθεσης. Έτσι ο καταθέτης θα εισέπραττε 2 νομισματικές μονάδες εάν ο τόκος 100% αποδιδόταν μία φορά, στο τέλος του χρόνου της κατάθεσης. Εάν όμως ο τόκος υπολογιζόταν δύο φορές (μία στη μέση και μία στο τέλος του χρόνου) με επιτόκιο το μισό, ο καταθέτης θα εισέπραττε 2,25 μονάδες. Εάν συνεχίζουμε να χωρίζουμε το χρονικό διάστημα της κατάθεσης σε ίσα κομμάτια και να ανατοκίζουμε το ποσόν με το επιτόκιο που αναλογεί στο κάθε κομμάτι, διαπιστώνουμε ότι το τελικό ποσόν δεν απειρίζεται, αλλά αρχίζει να συγκλίνει προς έναν αριθμό. Αν πάρουμε την οριακή περίπτωση ο αριθμός των περιόδων να τείνει στο άπειρο τότε θα εισπράξουμε e νομισματικές μονάδες. Το πρόβλημα σε αυτή τη διάσταση μελέτησε ο Γιακόμπ Μπερνούλι ο οποίος έδειξε ότι το ανάπτυγμα σε απειροσειρά του $(1+ \tfrac{1}{n} )^n$ συγκλίνει σε ένα αριθμό στο διάστημα (2,3), δηλαδή μεγαλύτερο του 2 και μικρότερο του 3.

Ο e, όπως και ο π, αποδεικνύεται ότι έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία. Μπορεί να υπολογισθεί με όση ακρίβεια θέλουμε, δηλαδή με όσα δεκαδικά ψηφία χρειαζόμαστε κάθε φορά, αλλά ποτέ με απόλυτη ακρίβεια (δηλαδή με όλα του τα δεκαδικά ψηφία). Συνεπώς, ενώ είναι πραγματικός αριθμός, δεν είναι ούτε ακέραιος, ούτε κλάσμα, ούτε περιοδικός, αλλά "άρρητος" (δηλαδή αριθμός που η τιμή του δεν μπορεί ποτέ να "ρηθεί", να ειπωθεί, επειδή τα ψηφία του δεν τελειώνουν ποτέ). Ο πιο πρόσφατος υπολογισμός του e, τον Ιούλιο του 2010, περιέχει 1 τετράκις εκατομμύριο δεκαδικά ψηφία.

Με το άθροισμα μιας άπειρης σειράς

$e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$

Με εμβαδό υπερβολής $f(t)=1/t$

$\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}$

Από τον αριθμό στη Συνάρτηση

Αν και πέρασαν πολλά χρόνια μέχρι να οριστεί η εκθετική συνάρτηση, από την στιγμή του ορισμού της έγινε μία από τις διασημότερες (αν όχι η διασημότερη) συνάρτηση. Η συνάρτηση έχει την εξαιρετική ιδιότητα να ισούται με την παράγωγο της. Αυτό σημαίνει περιγράφει μεγέθη που πολλαπλασιάζονται με σταθερό ρυθμό (ή σταθερή ένταση) κάτι το οποίο συναντάμε σε πάρα πολλές εφαρμογές ως το πρώτο βήμα για να δομήσουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα.

Η συνάρτηση $f(x)= e^x$ προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της σειράς

$\sum_{k=0}^\infty\frac{k^x}{k!}$

Μια σχέση φανταστική!

O Όυλερ κατελήξε στην παρακάτω σχέση για έναν φανταστικό αριθμό

$\,e^{ix}=\cos x + i\sin x$

Για να δείξει το παραπάνω αποτέλεσμα ο Όυλερ έκανε κάποια λάθη στον χειρισμό των σειρών που ανέπτυξε αλλά το αποτέλεσμα παραμένει.

Αν θέσουμε $\,x= \pi$ παίρνουμε

$e^{i\pi}=-1 \Leftrightarrow e^{i\pi}+1=0$

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση του Όυλερ και είναι μία από τις σημαντικότερες στην φιλοσοφία των Μαθηματικών. Συνδέει τους $\,e,$$\,\pi,$ $\,i$ με την μονάδα και το μηδέν, χρησιμοποιώντας πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και ύψωση σε δύναμη! Πέρα από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή μας έδωσε και κάτι παραπάνω. Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο π είναι υπερβατικός, δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Τέτοιος αριθμός είναι και ο $e$.

Πρόταση: Για $n$ διαφορετικούς αλγεβρικούς αριθμούς $a_1,a_2,..,a_n$ και επίσης αλγεβρικούς αριθμούς $A_1,A_2,..,A_n$ όχι όλους ίσους με το μηδέν η παράσταση

$A_1e^{a_1}+A_2e^{a_2}+..+A_ne^{a_n}$

δεν ισούται με το μηδέν.(Λιντερμαν)

Η εξίσωση του Όυλερ όμως μας δίνει ένα τέτοιο αποτέλεσμα για τον αριθμό $i\pi$ άρα και για τον $\pi$. Συνεπώς ο $\pi$ είναι υπερβατικός. Αυτό έδωσε τέλος στις προσπάθειες τετραγωνισμού του κύκλου, αφού αποδεικνύει ότι είναι αδύνατος.

Πηγές

• e: Η Ιστορία ενός Αριθμού, Eli Maor, Εκδόσεις Κάτοπτρο