Αριθμός e (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Αριθμός e
Ταξινόμηση
MSC2010 03-XX


Ο αριθμός e ή ε είναι μια σημαντική μαθηματική σταθερά που είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828, και είναι το όριο (1 + 1/n)n όσο το n πλησιάζει το άπειρο. Μια έκφραση που προκύπτει στη μελέτη των σύνθετων τόκων. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς e =  \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{ \infty} \dfrac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots

Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους, για παράδειγμα, ε είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός, όπως η αξία της παραγώγου (κλίση της εφαπτομένης) της συνάρτησης  f(x) = ex στο σημείο x=0 είναι ίσο με το 1. Η συνάρτηση ex ονομάζεται  εκθετική συνάρτηση και το αντίστροφο του είναι ο φυσικός λογάριθμος, ή λογάριθμος με βάση το e.Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού k μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη y = 1 / x μεταξύ x = 1 και x = k, όπου , το e είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι 1. Υπάρχουν επίσης περισσότεροι εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί.

Μερικές φορές ονομάζεται αριθμός Euler, από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Ο ε δεν πρέπει να συγχέεται με την γ- τη σταθερά του Euler-Mascheroni που μερικές φορές ονομάζεται απλά σταθερά του Euler. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Napier, αλλά η επιλογή του Euler του συμβόλου e λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. [4] Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά, [5] μαζί με 0, 1, π και i. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενους ρόλους σε μαθηματικά, και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της ταυτότητας του Euler. Όπως και η σταθερά π, e δεν είναι μια αναλογία των ακεραίων , και είναι υπερβατικό: δεν είναι μια ρίζα κάθε μη μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές. Η αριθμητική αξία του e μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995... (sequence A001113 στο OEIS).

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργο για λογαρίθμους από τον Τζον Νάπιερ (John Napier). Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Υποστηρίζεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli) ο οποίος προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση (που είναι στην πραγματικότητα το e):

Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα  b, ήταν σε αντιστοιχία από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Leibniz) στον Κρίστιαν Χόυχενς (Christiaan Huygens) το  1690 και το 1691. Ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler) εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον Christian Goldbach  στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Euler ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έγγραφο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του Euler Mechanica (1736). Ενώ στα επόμενα χρόνια κάποιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν το γράμμα c, το e ήταν το πιο γνωστό και τελικά έγινε το πρότυπο.

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τόκος ανατοκισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Jacob Bernoulli ανακάλυψε αυτή τη  σταθερά μελετώντας μια ερώτηση σχετικά με τους τόκους ανατοκισμού:

Ένας λογαριασμός ξεκινά με $ 1.00 και πληρώνει 100  τοις εκατό τόκο  ανά έτος. Εάν ο τόκος πιστώνεται μια φορά η αξία του λογαριασμού στο τέλος του έτους θα είναι $ 2,00. Τι συμβαίνει  αν ο τόκος υπολογιστεί και πιστωθεί πιο συχνά κατά τη διάρκεια του έτους;

Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε το αρχικό  $ 1 πολλαπλασιάζεται κατά 1,5 φορές, αποδίδοντας $ 1.00 × 1.52 = 2,25 $  στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις  τριμηνιαίες αποδόσεις  είναι $ 1,00 × 1.254 = 2,4414 δολάρια ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 δολάρια ... Αν υπάρχουν n συμμιγή  διαστήματα, το ενδιαφέρον για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι 1,00 € × (1 + 1 / n) n.

Ο Bernoulli παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο (τη δύναμη του ενδιαφέροντος) με μεγαλύτερα n και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα σύνθεσης. Υπολογίζοντας  την εβδομάδα (n = 52) αποδίδει 2,692597 δολάρια ..., ενώ υπολογίζοντας ημερησίως (n = 365) αποδίδει 2,714567 δολάρια ..., μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το n μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός  ως e! Mε συνεχή σύνθεση, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα $ 2.7182818 .... Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει eRt δολάρια με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το R είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05)

Οι δοκιμές του Bernulli[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο ίδιος ο αριθμός e έχει επίσης εφαρμογές στη θεωρία των πιθανοτήτων όπου προκύπτει, κατά τρόπο που δεν σχετίζεται προφανώς με εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη που πληρώνει με πιθανότητα ένα στο n και παίζει n φορές. Στη συνέχεια, για μεγάλο n (όπως ένα εκατομμύριο), η πιθανότητα ότι ο παίκτης θα χάσει κάθε στοίχημα είναι (περίπου) 1 / e. Για n = 20 είναι ήδη περίπου 1/2.79.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα της διαδικασίας των δοκιμών Bernulli. Κάθε φορά που ο παίκτης παίζει με τον κουλοχέρη, υπάρχει μία στο ένα εκατομμύριο πιθανότητες να κερδίσει. Παίζοντας ένα εκατομμύριο φορές διαμορφώνεται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία είναι στενά συνδεδεμένη με το διωνυμικό θεώρημα. Η πιθανότητα της νίκης k φορές μετά από ένα εκατομμύριο προσπάθειες είναι :

\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k(1-10^{-6})^{10^6-k}.

Ειδικότερα, η πιθανότητα νίκης μηδέν φορές (k = 0) είναι

\left(1-\frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.

Αυτό είναι πολύ κοντά στο ακόλουθο όριο για το 1/e:

\frac{1}{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.

..........................................................

Αναδιατάξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άλλη μια εφαρμογή του ε , επίσης ανακαλύφθηκε εν μέρη από τον Jacob Bernoulli μαζί με τον Pierre Raymond de Montmort που είναι στο πρόβλημα της αναδιάταξης, γνωστό σαν το πρόβλημα έλεγχος καπελού . Το οποίο είναι το εξής , ν επισκέπτες είναι προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι , στην πόρτα κάθε επισκέπτης ελέγχει ελέγχει το καπέλο του με τον μπάτλερ που τους τα τοποθετεί στη συνέχεια σε ν κουτιά, το καθένα από αυτά έχει πάνω το όνομα του κάθε επισκέπτη. Όμως ο μπάτλερ δεν γνωρίζει τα ονόματα των φιλοξενούμενων ,έτσι βάζει τα καπέλα στα κουτιά με τυχαίο τρόπο. Το πρόβλημα του de Montmort είναι να βρει την πιθανότητα ,ώστε κανένα από τα κάπελα να τοποθετηθεί στο σωστό κουτί . Η απάντηση είναι :

p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.

Ασύμπτωτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο αριθμός ε συμβαίνει να συνδέεται φυσικά με πολλά προβλήματα που εμπεριέχουν ασύμπτωτες . Ένα διακεκριμένο πρόβλημα είναι η φόρμουλα Stirling για τις ασύμπτωτες της παραγοντικής συνάρτησης στην οποία και οι δυο αριθμοί ε και π εισέρχονται  :

n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Μια ιδιαίτερη συνέπεια αυτού είναι :

.e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

Τυπική κανονική κατανομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(Κανονική κατανομή )

Η πιο απλή περίπτωση μιας κανονικής κατανομής είναι η τυπική κανονική κατανομή , που περιγράφεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία είναι :

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2}.

Ο παράγοντας σε αυτή την έκφραση διασφαλίζει πως η συνολική περιοχή κάτω από την καμπύλη ϕ(x) είναι ένα. Ο εκθέτης 1/2 διασφαλίζει οτι η κατανομή έχει διαφορά μονάδων (και για αυτό το λόγο επίσης και η τυπική απόκλιση ). Η συνάρτηση είναι συμμετρική γύρω από το χ=0 ,

The factor  in this expression ensures that the total area under the curve ϕ(x) is equal to one[proof]. The 1/2 in the exponent ensures that the distribution has unit variance (and therefore also unit standard deviation). This function is symmetric around x=0, όπου επιτυγχάνει τη μέγιστη τιμή της : και έχει σημεία καμπής στο +1 και -1.

Ο αριθμός ε στον λογισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το βασικό κίνητρο για την εισαγωγή του αριθμού e, στον λογισμό , είναι για να εκτελεί διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεις με εκθετικές και λογαριθμικές λειτουργίες. Μια γενική εκθετική συνάρτηση y = aχ έχει την παράγωγο που φαίνεται στο παρακάτω όριο :

\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).

Το ορια στα δεξια ειναι ανεξαρτητο απο την μεταβλητη χ .Εξαρταται μονο απο την βαση α.Οταν η βαση ειναι ε, το οριο ειναι ισο με 1, και έτσι το e είναι συμβολικά ορίζεται από την εξίσωση:

\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Ως εκ τούτου, η εκθετική συνάρτηση με βάση e είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για τον λογισμού. Επιλέγοντας ε, σε αντίθεση με κάποιο άλλο αριθμό, διότι η βάση της εκθετικής συνάρτησης κάνει υπολογισμούς που αφορούν την παράγωγο πολύ πιο άπλα.

Ένα άλλο κίνητρο έρχεται από την εξέταση της βάσης λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψιν τον ορισμό της παραγώγου του Loga x είναι το όριο:

\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),

όπου η αντικατάσταση u = h/x έγινε στο τελευταίο βήμα .Το τελευταίο όριο που εμφανίζονται σε αυτό τον υπολογισμό είναι και πάλι ένα απροσδιόριστο όριο που εξαρτάται μόνο από τη βάση α , και αν αυτή η βάση είναι ε, τότε το όριο είναι ίσο με 1. Έτσι συμβολικά :

\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.

Ο λογάριθμος σε αυτή την ειδική βάση ονομάζεται ο φυσικός λογάριθμος και αναπαρίσταται ως ln ;συμπεριφέρεται καλά κάτω από τη διαφοροποίηση, δεδομένου ότι δεν υπάρχει απροσδιόριστο όριο να φέρει σε πέρας τους υπολογισμούς.

Υπάρχουν λοιπόν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε έναν ειδικό αριθμό α = e. Ένας τρόπος είναι να ορίσετε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης aχ σε

aχ .Ο άλλος τρόπος είναι να θέσουμε την παράγωγο της βάσης του λογαρίθμου σε 1/χ και να λύσουμε προς a .Σε κάθε περίπτωση φτάνει κανείς σε μια βολική επιλογή της βάσης. Στην πραγματικότητα, αυτές οι δύο λύσεις για το Α είναι στην πραγματικότητα το ίδιο, ο αριθμός e.

Εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βλέπε επίσης: Representations of e

Άλλοι χαρακτηρισμοί του e που είναι επίσης πιθανοί: ένας είναι το όριο μιας ακολουθίας, άλλος είναι το άθροισμα άπειρης σειράς και μερικοί ακόμα βασίζονται στον ολοκληρωτικό λογισμό. Μέχρι στιγμής, οι ακόλουθες δύο (ισοδύναμες) ιδιότητες έχουν εισαχθεί:

1. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε:

\frac{d}{dt}e^t = e^t.

2. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε:

\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.

Οι ακόλουθοι τρεις χαρακτηρισμοί μπορούν να αποδειχθούν ισοδύναμα:

3. Ο αριθμός e είναι το όριο

e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Ομοίως :

e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}}

4. Ο αριθμός e είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς

e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots

όπου n! είναι το παραγοντικό του n.

5. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε

\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.

Ιδιότητες

Λογισμός

Όπως και στο κίνητρο, η εκθετική συνάρτηση ex είναι σημαντική εν μέρει επειδή είναι η μοναδική με μη τετριμμένη συνάρτηση (μέχρι τον πολλαπλασιασμό με μια σταθερά) η οποία είναι δική του παράγωγος

\frac{d}{dx}e^x=e^x

και ως εκ τούτου η δική του αντιπαράγωγος, καθώς και:

\int e^x\,dx = e^x + C.

Συναρτήσεις σαν Εκθετικές

Βλέπε επίσης: Steiner's problem

Το μέγιστο συνολικό όριο για τη συνάρτηση

 f(x) = \sqrt[x]{x}

εμφανίζεται στο x = e. Ομοίως, το x= 1 / e είναι  εκεί όπου το ολικό ελάχιστο λαμβάνει χώρα για τη συνάρτηση

 \!\ f(x) = x^{x^n}

ορίζεται για τη θετική x. Γενικότερα x = e−1/n είναι αυτό που το ολικό ελάχιστο λαμβάνει χώρα για τη συνάρτηση

 x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}

για κάθε n> 0. Η  άπειρη σειρά

συγκλίνει αν και μόνο αν ee ≤ x ≤ e1/e (ή περίπου μεταξύ 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του Leonhard Euler.

Θεωρία των Αριθμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πραγματικός αριθμός e είναι παράλογος. Ο Euler απέδειξε αυτό, δείχνοντας ότι η απλή συνέχιση της επέκτασης του κλάσματος είναι άπειρη.(Βλέπε επίσης:Η απόδειξη του Fourier ότι το e είναι άπειρο.)

Επιπλέον, από το θεώρημα Lindemann-Weierstrass, το e είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ορθολογικούς συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι  υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό (σε σύγκριση με τον αριθμό Liouville); η απόδειξη δόθηκε από τον Charles Hermite το 1873.

Εικάζεται ότι το e είναι φυσιολογικό, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (συμβαίνουν με ίση πιθανότητα σε οποιαδήποτε δεδομένη αλληλουχία δοσμένου μήκους)

Μιγαδικοί αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εκθετική συνάρτηση ex  μπορεί να γραφεί ως μια σειρά Taylor

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Επειδή αυτή η σειρά κρατά πολλές σημαντικές ιδιότητες για την ex ακόμη και όταν το x είναι σύνθετο, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού του ex με μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό, με τη σειρά Taylor για τα sin και cos x, επιτρέπει σε κάποιον να τα αντλήσει από τον τύπο του Euler:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

η οποία ισχύει για όλα τα x. Η ειδική περίπτωση x = π είναι η ταυτότητα του Euler:

e^{i\pi} + 1 = 0\,\!

από την οποία προκύπτει ότι, στο κύριο κλάδο του λογαρίθμου,

\ln (-1) = i\pi.\,\!

Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τους νόμους για την ύψωση σε δύναμη,

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),

ο οποίος είναι ο τύπος του de Moivre.

Η έκφραση

\cos x + i \sin x \,

αναφέρεται μερικές φορές στο cis(x).

Διαφορικές Εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γενική συνάρτηση

y(x) = Ce^x\,

είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης

y' = y.\,

Παραστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο άρθρο (Λίστα από παραστάσεις)

Ο αριθμός e μπορεί να παρασταθεί ως πραγματικός αριθμός με διάφορους τρόπους: ως άπειρη σειρά, ως ένα άπειρο προϊόν, ως ένα συνεχές κλάσμα, ή ένα όριο μιας ακολουθίας. Η επικεφαλής μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, κυρίως σε εισαγωγικά μαθήματα λογισμού είναι το όριο

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

που δόθηκε παραπάνω, καθώς επίσης και η σειρά

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

δίνεται από την αξιολόγηση της παραπάνω σειράς από το ex στο x = 1.

Λιγότερο γνωστό είναι το συνεχιζόμενο κλάσμα (ακολουθία A003417 στην OEIS).


e = [2;1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,\mathbf 6,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...] = [1;\mathbf 0,1,1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...],

το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με

e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.

Αυτό το συνεχές κλάσμα για το e συγκλίνει τρεις φορές πιο γρήγορα από το:

 e = [ 1 ; 0.5 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , \ldots , 4(4n-1) , (4n+1) , \ldots ],

το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με

 e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.

Πολλές άλλες σειρές, η ακολουθία, το συνεχές κλάσμα, και οι άπειρες παραστάσεις των προϊόντων του e έχουν αναπτυχθεί.

Στοχαστικές παραστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εκτός από τις ακριβείς αναλυτικές εκφράσεις για το ε, υπάρχουν στοχαστικές τεχνικές για την εκτίμηση του ε. Μία τέτοια προσέγγιση ξεκινά με μια άπειρη ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών X1X2..., προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1]. Ας είναι V ο ελάχιστος αριθμός n, τέτοιος ώστε το άθροισμα των πρώτων δειγμάτων ν να υπερβαίνει το 1:

Στη συνέχεια, η αναμενόμενη τιμή του V είναι e : Ε(ν)=ε

Γνωστά ψηφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πλήθος των γνωστών ψηφίων του ε έχει βελτιωθεί δραματικά κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετίων. Αυτό οφείλεται τόσο στην αυξημένη απόδοση των υπολογιστών όσο και στις αλγοριθμικές βελτιώσεις.